MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum2d2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum2d2 18573
Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. (Note that 𝐶(𝑗) is a function of 𝑗.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d2.z 0 = (0g𝐺)
gsum2d2.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d2.a (𝜑𝐴𝑉)
gsum2d2.r ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑊)
gsum2d2.f ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑋𝐵)
gsum2d2.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
gsum2d2.n ((𝜑 ∧ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
Assertion
Ref Expression
gsum2d2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐵   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑉   0 ,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2d2
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsum2d2.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsum2d2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsum2d2.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
5 snex 5057 . . . . . 6 {𝑗} ∈ V
6 gsum2d2.r . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑊)
7 xpexg 7125 . . . . . 6 (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐶𝑊) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
85, 6, 7sylancr 698 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
98ralrimiva 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
10 iunexg 7308 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
114, 9, 10syl2anc 696 . . 3 (𝜑 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
12 relxp 5283 . . . . . 6 Rel ({𝑗} × 𝐶)
1312rgenw 3062 . . . . 5 𝑗𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶)
14 reliun 5395 . . . . 5 (Rel 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∀𝑗𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶))
1513, 14mpbir 221 . . . 4 Rel 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → Rel 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
17 vex 3343 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
1817eldm2 5477 . . . . 5 (𝑥 ∈ dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
19 eliunxp 5415 . . . . . . 7 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑗𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)))
20 vex 3343 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
2117, 20opth1 5092 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝑥 = 𝑗)
2221ad2antrl 766 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶))) → 𝑥 = 𝑗)
23 simprrl 823 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶))) → 𝑗𝐴)
2422, 23eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶))) → 𝑥𝐴)
2524ex 449 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑥𝐴))
2625exlimdvv 2011 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑗𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑥𝐴))
2719, 26syl5bi 232 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥𝐴))
2827exlimdv 2010 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥𝐴))
2918, 28syl5bi 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥𝐴))
3029ssrdv 3750 . . 3 (𝜑 → dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ⊆ 𝐴)
31 gsum2d2.f . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑋𝐵)
3231ralrimivva 3109 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗𝐴𝑘𝐶 𝑋𝐵)
33 eqid 2760 . . . . 5 (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) = (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
3433fmpt2x 7404 . . . 4 (∀𝑗𝐴𝑘𝐶 𝑋𝐵 ↔ (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋): 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
3532, 34sylib 208 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋): 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
36 gsum2d2.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
37 gsum2d2.n . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
381, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37gsum2d2lem 18572 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) finSupp 0 )
391, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38gsum2d 18571 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑚𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))))))
40 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑗𝐺
41 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑗 Σg
42 nfiu1 4702 . . . . . . . 8 𝑗 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
43 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑗{𝑚}
4442, 43nfima 5632 . . . . . . 7 𝑗( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚})
45 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑗𝑚
46 nfmpt21 6887 . . . . . . . 8 𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
47 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑗𝑛
4845, 46, 47nfov 6839 . . . . . . 7 𝑗(𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)
4944, 48nfmpt 4898 . . . . . 6 𝑗(𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))
5040, 41, 49nfov 6839 . . . . 5 𝑗(𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))
51 nfcv 2902 . . . . 5 𝑚(𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))
52 sneq 4331 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑗 → {𝑚} = {𝑗})
5352imaeq2d 5624 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑗 → ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) = ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}))
54 oveq1 6820 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))
5553, 54mpteq12dv 4885 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑗 → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))
5655oveq2d 6829 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))))
5750, 51, 56cbvmpt 4901 . . . 4 (𝑚𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))) = (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))))
58 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 ∈ V
59 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ V
6058, 59elimasn 5648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
61 opeliunxp 5327 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝑗𝐴𝑘𝐶))
6260, 61bitri 264 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ (𝑗𝐴𝑘𝐶))
6362baib 982 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝐴 → (𝑘 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ 𝑘𝐶))
6463eqrdv 2758 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝐴 → ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
6564mpteq1d 4890 . . . . . . . . 9 (𝑗𝐴 → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑛𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))
66 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗
67 nfmpt22 6888 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
68 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑛
6966, 67, 68nfov 6839 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)
70 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)
71 oveq2 6821 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘))
7269, 70, 71cbvmpt 4901 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑘𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘))
7365, 72syl6eq 2810 . . . . . . . 8 (𝑗𝐴 → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑘𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)))
7473adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑘𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)))
75 simprl 811 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑗𝐴)
76 simprr 813 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑘𝐶)
7733ovmpt4g 6948 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝐴𝑘𝐶𝑋𝐵) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋)
7875, 76, 31, 77syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋)
7978anassrs 683 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋)
8079mpteq2dva 4896 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑘𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)) = (𝑘𝐶𝑋))
8174, 80eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑘𝐶𝑋))
8281oveq2d 6829 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))
8382mpteq2dva 4896 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))) = (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋))))
8457, 83syl5eq 2806 . . 3 (𝜑 → (𝑚𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))) = (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋))))
8584oveq2d 6829 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))))
8639, 85eqtrd 2794 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  {csn 4321  cop 4327   ciun 4672   class class class wbr 4804  cmpt 4881   × cxp 5264  dom cdm 5266  cima 5269  Rel wrel 5271  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  Fincfn 8121  Basecbs 16059  0gc0g 16302   Σg cgsu 16303  CMndccmn 18393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395
This theorem is referenced by:  gsumdixp  18809  psrass1lem  19579  gsumcom3  20407  gsummpt2co  30089
  Copyright terms: Public domain W3C validator