Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum2d 18417
 Description: Write a sum over a two-dimensional region as a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d.z 0 = (0g𝐺)
gsum2d.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d.a (𝜑𝐴𝑉)
gsum2d.r (𝜑 → Rel 𝐴)
gsum2d.d (𝜑𝐷𝑊)
gsum2d.s (𝜑 → dom 𝐴𝐷)
gsum2d.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsum2d.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsum2d (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   0 ,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑗,𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2d
StepHypRef Expression
1 gsum2d.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsum2d.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsum2d.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsum2d.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 gsum2d.r . . 3 (𝜑 → Rel 𝐴)
6 gsum2d.d . . 3 (𝜑𝐷𝑊)
7 gsum2d.s . . 3 (𝜑 → dom 𝐴𝐷)
8 gsum2d.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
9 gsum2d.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9gsum2dlem2 18416 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
11 suppssdm 7353 . . . . . 6 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
12 fdm 6089 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
138, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
1411, 13syl5sseq 3686 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
15 relss 5240 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 → (Rel 𝐴 → Rel (𝐹 supp 0 )))
1614, 5, 15sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → Rel (𝐹 supp 0 ))
17 relssdmrn 5694 . . . . . . 7 (Rel (𝐹 supp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )))
18 ssv 3658 . . . . . . . 8 ran (𝐹 supp 0 ) ⊆ V
19 xpss2 5162 . . . . . . . 8 (ran (𝐹 supp 0 ) ⊆ V → (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 (dom (𝐹 supp 0 ) × ran (𝐹 supp 0 )) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V)
2117, 20syl6ss 3648 . . . . . 6 (Rel (𝐹 supp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
2216, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
2314, 22ssind 3870 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴 ∩ (dom (𝐹 supp 0 ) × V)))
24 df-res 5155 . . . 4 (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 ∩ (dom (𝐹 supp 0 ) × V))
2523, 24syl6sseqr 3685 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))
261, 2, 3, 4, 8, 25, 9gsumres 18360 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ↾ dom (𝐹 supp 0 )))) = (𝐺 Σg 𝐹))
27 dmss 5355 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐴)
2814, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐴)
2928, 7sstrd 3646 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐷)
3029resmptd 5487 . . . 4 (𝜑 → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 )) = (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
3130oveq2d 6706 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9gsum2dlem1 18415 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
3332adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐷) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)
34 eqid 2651 . . . . 5 (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) = (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
3533, 34fmptd 6425 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))):𝐷𝐵)
36 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 ∈ V
37 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ V
3836, 37elimasn 5525 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
3938biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
4039ad2antll 765 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
41 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) → ¬ 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
4241ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ¬ 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
4336, 37opeldm 5360 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → 𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ))
4442, 43nsyl 135 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
4540, 44eldifd 3618 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 )))
46 df-ov 6693 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
47 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
49 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝐺) ∈ V
502, 49eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑0 ∈ V)
528, 48, 4, 51suppssr 7371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
5346, 52syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
5445, 53syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
5554anassrs 681 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗})) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
5655mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 ))
5756oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )))
58 cmnmnd 18254 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
593, 58syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
60 imaexg 7145 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
614, 60syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
622gsumz 17421 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
6359, 61, 62syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
6463adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ 0 )) = 0 )
6557, 64eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐷 ∖ dom (𝐹 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) = 0 )
6665, 6suppss2 7374 . . . 4 (𝜑 → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹 supp 0 ))
67 funmpt 5964 . . . . . 6 Fun (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
6867a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))))
699fsuppimpd 8323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
70 dmfi 8285 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
7169, 70syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
72 ssfi 8221 . . . . . 6 ((dom (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹 supp 0 )) → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)
7371, 66, 72syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)
74 mptexg 6525 . . . . . . 7 (𝐷𝑊 → (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V)
756, 74syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V)
76 isfsupp 8320 . . . . . 6 (((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∧ ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
7775, 51, 76syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ∧ ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
7868, 73, 77mpbir2and 977 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) finSupp 0 )
791, 2, 3, 6, 35, 66, 78gsumres 18360 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)))) ↾ dom (𝐹 supp 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
8031, 79eqtr3d 2687 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ dom (𝐹 supp 0 ) ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
8110, 26, 803eqtr3d 2693 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑗𝐷 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144   ↾ cres 5145   “ cima 5146  Rel wrel 5148  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   supp csupp 7340  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  CMndccmn 18239 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241 This theorem is referenced by:  gsum2d2  18419  gsumxp  18421
 Copyright terms: Public domain W3C validator