MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum0 17485
Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gsum0.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsum0 (𝐺 Σg ∅) = 0

Proof of Theorem gsum0
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑜 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2770 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 gsum0.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2770 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2770 . . 3 {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
6 0ex 4921 . . . 4 ∅ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ V → ∅ ∈ V)
8 f0 6226 . . . 4 ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)}
98a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ V → ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)})
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9gsumval1 17484 . 2 (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
11 df-gsum 16310 . . . . 5 Σg = (𝑤 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑤)((𝑥(+g𝑤)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑤)𝑥) = 𝑦)} / 𝑜if(ran 𝑓𝑜, (0g𝑤), if(dom 𝑓 ∈ ran ..., (℩𝑥𝑚𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(dom 𝑓 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚((+g𝑤), 𝑓)‘𝑛))), (℩𝑥𝑔[(𝑓 “ (V ∖ 𝑜)) / 𝑦](𝑔:(1...(♯‘𝑦))–1-1-onto𝑦𝑥 = (seq1((+g𝑤), (𝑓𝑔))‘(♯‘𝑦)))))))
1211reldmmpt2 6917 . . . 4 Rel dom Σg
1312ovprc1 6828 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = ∅)
14 fvprc 6326 . . . 4 𝐺 ∈ V → (0g𝐺) = ∅)
152, 14syl5eq 2816 . . 3 𝐺 ∈ V → 0 = ∅)
1613, 15eqtr4d 2807 . 2 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
1710, 16pm2.61i 176 1 (𝐺 Σg ∅) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 382   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061  {crab 3064  Vcvv 3349  [wsbc 3585  csb 3680  cdif 3718  wss 3721  c0 4061  ifcif 4223  ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250  cima 5252  ccom 5253  cio 5992  wf 6027  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6792  1c1 10138  cuz 11887  ...cfz 12532  seqcseq 13007  chash 13320  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  0gc0g 16307   Σg cgsu 16308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-seq 13008  df-gsum 16310
This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  17582  gsumccat  17585  gsumwmhm  17589  gsumwspan  17590  frmdgsum  17606  frmdup1  17608  gsumwrev  18002  gsmsymgrfix  18054  gsmsymgreq  18058  psgnunilem2  18121  psgn0fv0  18137  psgnsn  18146  psgnprfval1  18148  gsumconst  18540  mplmonmul  19678  mplcoe1  19679  mplcoe5  19682  coe1fzgsumd  19886  evl1gsumd  19935  gsumfsum  20027  mdet0pr  20615  madugsum  20666  tmdgsum  22118  xrge0gsumle  22855  xrge0tsms  22856  jensen  24935  gsumle  30113  gsumvsca1  30116  gsumvsca2  30117  xrge0tsmsd  30119  esumnul  30444  esumsnf  30460  sitg0  30742  mrsub0  31745  matunitlindflem1  33731  lincval0  42722
  Copyright terms: Public domain W3C validator