Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsmsymgrfix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsmsymgrfix 18055
 Description: The composition of permutations fixing one element also fixes this element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgrfix ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfix
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3354 . . . . . . . . . . 11 𝑤 ∈ V
2 hasheq0 13356 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ V → ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅)
43biimpri 218 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
54oveq2d 6812 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^0))
6 fzo0 12700 . . . . . . . 8 (0..^0) = ∅
75, 6syl6eq 2821 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (0..^(♯‘𝑤)) = ∅)
8 fveq1 6332 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝑖) = (∅‘𝑖))
98fveq1d 6335 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝑖)‘𝐾) = ((∅‘𝑖)‘𝐾))
109eqeq1d 2773 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
117, 10raleqbidv 3301 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
12 oveq2 6804 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg ∅))
1312fveq1d 6335 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾))
1413eqeq1d 2773 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
1511, 14imbi12d 333 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)))
1615imbi2d 329 . . . 4 (𝑤 = ∅ → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))))
17 fveq2 6333 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑦))
1817oveq2d 6812 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑦)))
19 fveq1 6332 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑖) = (𝑦𝑖))
2019fveq1d 6335 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤𝑖)‘𝐾) = ((𝑦𝑖)‘𝐾))
2120eqeq1d 2773 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
2218, 21raleqbidv 3301 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
23 oveq2 6804 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑦))
2423fveq1d 6335 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾))
2524eqeq1d 2773 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))
2622, 25imbi12d 333 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)))
2726imbi2d 329 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))))
28 fveq2 6333 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
2928oveq2d 6812 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
30 fveq1 6332 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑤𝑖) = ((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖))
3130fveq1d 6335 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑤𝑖)‘𝐾) = (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾))
3231eqeq1d 2773 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
3329, 32raleqbidv 3301 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
34 oveq2 6804 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
3534fveq1d 6335 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾))
3635eqeq1d 2773 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
3733, 36imbi12d 333 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
3837imbi2d 329 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
39 fveq2 6333 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
4039oveq2d 6812 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
41 fveq1 6332 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤𝑖) = (𝑊𝑖))
4241fveq1d 6335 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤𝑖)‘𝐾) = ((𝑊𝑖)‘𝐾))
4342eqeq1d 2773 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
4440, 43raleqbidv 3301 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
45 oveq2 6804 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑊 → (𝑆 Σg 𝑤) = (𝑆 Σg 𝑊))
4645fveq1d 6335 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
4746eqeq1d 2773 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
4844, 47imbi12d 333 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
4948imbi2d 329 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))((𝑤𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑤)‘𝐾) = 𝐾)) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))))
50 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
5150symgid 18028 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
5251adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → ( I ↾ 𝑁) = (0g𝑆))
53 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (0g𝑆) = (0g𝑆)
5453gsum0 17486 . . . . . . . 8 (𝑆 Σg ∅) = (0g𝑆)
5552, 54syl6reqr 2824 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (𝑆 Σg ∅) = ( I ↾ 𝑁))
5655fveq1d 6335 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = (( I ↾ 𝑁)‘𝐾))
57 fvresi 6586 . . . . . . 7 (𝐾𝑁 → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
5857adantl 467 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (( I ↾ 𝑁)‘𝐾) = 𝐾)
5956, 58eqtrd 2805 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾)
6059a1d 25 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ ∅ ((∅‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg ∅)‘𝐾) = 𝐾))
61 ccatws1len 13600 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((♯‘𝑦) + 1))
6261oveq2d 6812 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (0..^((♯‘𝑦) + 1)))
6362raleqdv 3293 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
6463adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
6564adantr 466 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
66 gsmsymgrfix.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑆)
6750, 66gsmsymgrfixlem1 18054 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
68673expb 1113 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑦) + 1))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
6965, 68sylbid 230 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
7069exp32 407 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
7170a2d 29 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑦))((𝑦𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑦)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))(((𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))‘𝐾) = 𝐾))))
7216, 27, 38, 49, 60, 71wrdind 13685 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐵 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
7372com12 32 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)))
74733impia 1109 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁𝑊 ∈ Word 𝐵) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  Vcvv 3351  ∅c0 4063   I cid 5157   ↾ cres 5252  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Fincfn 8113  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  Word cword 13487   ++ cconcat 13489  ⟨“cs1 13490  Basecbs 16064  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  SymGrpcsymg 18004 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-tset 16168  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-symg 18005 This theorem is referenced by:  psgndiflemB  20162
 Copyright terms: Public domain W3C validator