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Theorem grur1a 9842
Description: A characterization of Grothendieck universes, part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
Assertion
Ref Expression
grur1a (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem grur1a
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gruina.1 . . . . . 6 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
2 inss1 3979 . . . . . 6 (𝑈 ∩ On) ⊆ 𝑈
31, 2eqsstri 3782 . . . . 5 𝐴𝑈
4 sseq2 3774 . . . . 5 (𝑈 = ∅ → (𝐴𝑈𝐴 ⊆ ∅))
53, 4mpbii 223 . . . 4 (𝑈 = ∅ → 𝐴 ⊆ ∅)
6 ss0 4116 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
7 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) = (𝑅1‘∅))
8 r10 8794 . . . . . 6 (𝑅1‘∅) = ∅
97, 8syl6eq 2820 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) = ∅)
10 0ss 4114 . . . . 5 ∅ ⊆ 𝑈
119, 10syl6eqss 3802 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)
125, 6, 113syl 18 . . 3 (𝑈 = ∅ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)
1312a1i 11 . 2 (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 = ∅ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈))
141gruina 9841 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
15 inawina 9713 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)
16 winaon 9711 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ∈ On)
17 winalim 9718 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)
18 r1lim 8798 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
1916, 17, 18syl2anc 565 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inaccw → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
2014, 15, 193syl 18 . . . 4 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
21 inss2 3980 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∩ On) ⊆ On
221, 21eqsstri 3782 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ⊆ On
2322sseli 3746 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝑥 ∈ On)
24 eleq1 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
25 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ∅ → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘∅))
2625, 8syl6eq 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → (𝑅1𝑥) = ∅)
2726eleq1d 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
2824, 27imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈)))
29 eleq1 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
30 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝑦))
3130eleq1d 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
3229, 31imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)))
33 eleq1 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑦𝐴))
34 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
3534eleq1d 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))
3633, 35imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
373sseli 3746 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ Univ → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈))
39 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → suc 𝑦𝐴)
40 elelsuc 5940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (suc 𝑦𝐴 → suc 𝑦 ∈ suc 𝐴)
413sseli 3746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (suc 𝑦𝐴 → suc 𝑦𝑈)
42 ne0i 4067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (suc 𝑦𝑈𝑈 ≠ ∅)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (suc 𝑦𝐴𝑈 ≠ ∅)
4414, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
4543, 44sylan2 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → 𝐴 ∈ On)
46 eloni 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
47 ordsucelsuc 7168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝐴 → (𝑦𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ suc 𝐴))
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → (𝑦𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ suc 𝐴))
4940, 48syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → (suc 𝑦𝐴𝑦𝐴))
5039, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
51 grupw 9818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)
5251ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ Univ → ((𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
5352adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → ((𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
54 r1suc 8796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1𝑦))
5554eleq1d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ On → ((𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈 ↔ 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
5655biimprcd 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))
5753, 56syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → ((𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
5850, 57embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
5958ex 397 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ Univ → (suc 𝑦𝐴 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
6059com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (suc 𝑦𝐴 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
6160com4r 94 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
62 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
633sseli 3746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝐴𝑥𝑈)
64 ne0i 4067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝑈𝑈 ≠ ∅)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐴𝑈 ≠ ∅)
6665, 44sylan2 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ On)
67 ontr1 5914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ On → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴))
68 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐴 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
6967, 68syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ On → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)))
7069expd 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ On → (𝑦𝑥 → (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))))
7170com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → (𝐴 ∈ On → (𝑦𝑥 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))))
7262, 66, 71sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝑥 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)))
7372imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
7473ralimdva 3110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → ∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
75 gruiun 9822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)
76753expia 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → (∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
7763, 76sylan2 572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
7874, 77syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
79 vex 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 ∈ V
80 r1lim 8798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
8179, 80mpan 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Lim 𝑥 → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
8281eleq1d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Lim 𝑥 → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝑈 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
8382biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Lim 𝑥 → ( 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
8478, 83sylan9r 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Lim 𝑥 ∧ (𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴)) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
8584exp32 407 . . . . . . . . . . . . 13 (Lim 𝑥 → (𝑈 ∈ Univ → (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))))
8685com34 91 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝑥 → (𝑈 ∈ Univ → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))))
8728, 32, 36, 38, 61, 86tfinds2 7209 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → (𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)))
8887com3r 87 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)))
8923, 88mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
9089impcom 394 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
91 gruelss 9817 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9290, 91syldan 571 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9392ralrimiva 3114 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
94 iunss 4693 . . . . . 6 ( 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9593, 94sylibr 224 . . . . 5 (𝑈 ∈ Univ → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9695adantr 466 . . . 4 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9720, 96eqsstrd 3786 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)
9897ex 397 . 2 (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ≠ ∅ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈))
9913, 98pm2.61dne 3028 1 (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  Vcvv 3349  cin 3720  wss 3721  c0 4061  𝒫 cpw 4295   ciun 4652  Ord word 5865  Oncon0 5866  Lim wlim 5867  suc csuc 5868  cfv 6031  𝑅1cr1 8788  Inaccwcwina 9705  Inacccina 9706  Univcgru 9813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-ac2 9486
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-r1 8790  df-card 8964  df-cf 8966  df-ac 9138  df-wina 9707  df-ina 9708  df-gru 9814
This theorem is referenced by:  grur1  9843
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