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Theorem grudomon 9841
Description: Each ordinal that is comparable with an element of the universe is in the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grudomon ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝑈𝐴𝐵)) → 𝐴𝑈)

Proof of Theorem grudomon
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4789 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
2 eleq1 2838 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑈𝑦𝑈))
31, 2imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐵𝑥𝑈) ↔ (𝑦𝐵𝑦𝑈)))
43imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑥𝐵𝑥𝑈)) ↔ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦𝐵𝑦𝑈))))
5 breq1 4789 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐵𝐴𝐵))
6 eleq1 2838 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑈𝐴𝑈))
75, 6imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐵𝑥𝑈) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝑈)))
87imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑥𝐵𝑥𝑈)) ↔ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝐴𝐵𝐴𝑈))))
9 r19.21v 3109 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦𝐵𝑦𝑈)) ↔ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐵𝑦𝑈)))
10 simpl1 1227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ On)
11 vex 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ V
12 onelss 5909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ On → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
1312imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
14 ssdomg 8155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ V → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
1511, 13, 14mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
1610, 15sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
17 simplr 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐵)
18 domtr 8162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝑥𝑥𝐵) → 𝑦𝐵)
1916, 17, 18syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐵)
20 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵 → ((𝑦𝐵𝑦𝑈) → 𝑦𝑈))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐵𝑦𝑈) → 𝑦𝑈))
2221ralimdva 3111 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐵𝑦𝑈) → ∀𝑦𝑥 𝑦𝑈))
23 dfss3 3741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑈 ↔ ∀𝑦𝑥 𝑦𝑈)
24 domeng 8123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵𝑈 → (𝑥𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦𝑦𝐵)))
25243ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑥𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦𝑦𝐵)))
2625biimpa 462 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑦(𝑥𝑦𝑦𝐵))
27 simpl2 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑈 ∈ Univ)
28 gruss 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈𝑦𝐵) → 𝑦𝑈)
29283expia 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦𝐵𝑦𝑈))
30293adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦𝐵𝑦𝑈))
3130adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑦𝐵𝑦𝑈))
32 ensym 8158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
3431, 33anim12d 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑦𝐵𝑥𝑦) → (𝑦𝑈𝑦𝑥)))
3534ancomsd 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥𝑦𝑦𝐵) → (𝑦𝑈𝑦𝑥)))
3635eximdv 1998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (∃𝑦(𝑥𝑦𝑦𝐵) → ∃𝑦(𝑦𝑈𝑦𝑥)))
37 gruen 9836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈 ∧ (𝑦𝑈𝑦𝑥)) → 𝑥𝑈)
38373com23 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑦𝑈𝑦𝑥) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
39383exp 1112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦𝑈𝑦𝑥) → (𝑥𝑈𝑥𝑈)))
4039exlimdv 2013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ Univ → (∃𝑦(𝑦𝑈𝑦𝑥) → (𝑥𝑈𝑥𝑈)))
4127, 36, 40sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (∃𝑦(𝑥𝑦𝑦𝐵) → (𝑥𝑈𝑥𝑈)))
4226, 41mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑈𝑥𝑈))
4323, 42syl5bir 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑥 𝑦𝑈𝑥𝑈))
4422, 43syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐵𝑦𝑈) → 𝑥𝑈))
4544ex 397 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑥𝐵 → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐵𝑦𝑈) → 𝑥𝑈)))
4645com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐵𝑦𝑈) → (𝑥𝐵𝑥𝑈)))
47463expib 1116 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ On → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐵𝑦𝑈) → (𝑥𝐵𝑥𝑈))))
4847a2d 29 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ On → (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐵𝑦𝑈)) → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑥𝐵𝑥𝑈))))
499, 48syl5bi 232 . . . . . 6 (𝑥 ∈ On → (∀𝑦𝑥 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦𝐵𝑦𝑈)) → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑥𝐵𝑥𝑈))))
504, 8, 49tfis3 7204 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝐴𝐵𝐴𝑈)))
5150com3l 89 . . . 4 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ On → 𝐴𝑈)))
5251impr 442 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐵𝑈𝐴𝐵)) → (𝐴 ∈ On → 𝐴𝑈))
53523impia 1109 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝐵𝑈𝐴𝐵) ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴𝑈)
54533com23 1120 1 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝐵𝑈𝐴𝐵)) → 𝐴𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  wss 3723   class class class wbr 4786  Oncon0 5866  cen 8106  cdom 8107  Univcgru 9814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-gru 9815
This theorem is referenced by:  gruina  9842  grur1  9844
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