MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grstructd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grstructd 25969
Description: If any representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸 has a certain property 𝜓, then any structure with base set 𝑉 and value 𝐸 in the slot for edge functions (which is such a representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸) has this property. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 9-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gropd.g (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓))
gropd.v (𝜑𝑉𝑈)
gropd.e (𝜑𝐸𝑊)
grstructd.s (𝜑𝑆𝑋)
grstructd.f (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
grstructd.d (𝜑 → 2 ≤ (#‘dom 𝑆))
grstructd.b (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
grstructd.e (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
grstructd (𝜑[𝑆 / 𝑔]𝜓)
Distinct variable groups:   𝑔,𝐸   𝑔,𝑉   𝜑,𝑔   𝑆,𝑔
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem grstructd
StepHypRef Expression
1 grstructd.s . 2 (𝜑𝑆𝑋)
2 gropd.g . 2 (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓))
3 grstructd.f . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
4 grstructd.d . . . . 5 (𝜑 → 2 ≤ (#‘dom 𝑆))
5 funvtxdmge2val 25936 . . . . 5 ((Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘dom 𝑆)) → (Vtx‘𝑆) = (Base‘𝑆))
63, 4, 5syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = (Base‘𝑆))
7 grstructd.b . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
86, 7eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
9 funiedgdmge2val 25937 . . . . 5 ((Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘dom 𝑆)) → (iEdg‘𝑆) = (.ef‘𝑆))
103, 4, 9syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (.ef‘𝑆))
11 grstructd.e . . . 4 (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)
1210, 11eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = 𝐸)
138, 12jca 553 . 2 (𝜑 → ((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸))
14 nfcv 2793 . . 3 𝑔𝑆
15 nfv 1883 . . . 4 𝑔((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸)
16 nfsbc1v 3488 . . . 4 𝑔[𝑆 / 𝑔]𝜓
1715, 16nfim 1865 . . 3 𝑔(((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸) → [𝑆 / 𝑔]𝜓)
18 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑔 = 𝑆 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝑆))
1918eqeq1d 2653 . . . . 5 (𝑔 = 𝑆 → ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ↔ (Vtx‘𝑆) = 𝑉))
20 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑔 = 𝑆 → (iEdg‘𝑔) = (iEdg‘𝑆))
2120eqeq1d 2653 . . . . 5 (𝑔 = 𝑆 → ((iEdg‘𝑔) = 𝐸 ↔ (iEdg‘𝑆) = 𝐸))
2219, 21anbi12d 747 . . . 4 (𝑔 = 𝑆 → (((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) ↔ ((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸)))
23 sbceq1a 3479 . . . 4 (𝑔 = 𝑆 → (𝜓[𝑆 / 𝑔]𝜓))
2422, 23imbi12d 333 . . 3 (𝑔 = 𝑆 → ((((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓) ↔ (((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸) → [𝑆 / 𝑔]𝜓)))
2514, 17, 24spcgf 3319 . 2 (𝑆𝑋 → (∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓) → (((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸) → [𝑆 / 𝑔]𝜓)))
261, 2, 13, 25syl3c 66 1 (𝜑[𝑆 / 𝑔]𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wal 1521   = wceq 1523  wcel 2030  [wsbc 3468  cdif 3604  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Fun wfun 5920  cfv 5926  cle 10113  2c2 11108  #chash 13157  Basecbs 15904  .efcedgf 25912  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-vtx 25921  df-iedg 25922
This theorem is referenced by:  grstructeld  25971
  Copyright terms: Public domain W3C validator