Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpvrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpvrinv 20418
 Description: Tuple-wise right inverse in groups. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpvlinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpvlinv.p + = (+g𝐺)
grpvlinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
grpvlinv.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpvrinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑋𝑓 + (𝑁𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))

Proof of Theorem grpvrinv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 742 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
2 elmapi 8030 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
32adantl 467 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
43ffvelrnda 6502 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐵)
5 grpvlinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
6 grpvlinv.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
7 grpvlinv.z . . . . 5 0 = (0g𝐺)
8 grpvlinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
95, 6, 7, 8grprinv 17676 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋𝑥) + (𝑁‘(𝑋𝑥))) = 0 )
101, 4, 9syl2anc 565 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑋𝑥) + (𝑁‘(𝑋𝑥))) = 0 )
1110mpteq2dva 4876 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑋𝑥) + (𝑁‘(𝑋𝑥)))) = (𝑥𝐼0 ))
12 elmapex 8029 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
1312simprd 477 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
1413adantl 467 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
15 fvexd 6344 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑁‘(𝑋𝑥)) ∈ V)
163feqmptd 6391 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑋 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑋𝑥)))
175, 8grpinvf 17673 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)
18 fcompt 6542 . . . 4 ((𝑁:𝐵𝐵𝑋:𝐼𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
1917, 2, 18syl2an 575 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
2014, 4, 15, 16, 19offval2 7060 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑋𝑓 + (𝑁𝑋)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑋𝑥) + (𝑁‘(𝑋𝑥)))))
21 fconstmpt 5303 . . 3 (𝐼 × { 0 }) = (𝑥𝐼0 )
2221a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝐼 × { 0 }) = (𝑥𝐼0 ))
2311, 20, 223eqtr4d 2814 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑋𝑓 + (𝑁𝑋)) = (𝐼 × { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  Vcvv 3349  {csn 4314   ↦ cmpt 4861   × cxp 5247   ∘ ccom 5253  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ∘𝑓 cof 7041   ↑𝑚 cmap 8008  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  0gc0g 16307  Grpcgrp 17629  invgcminusg 17630 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-map 8010  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator