Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpsubid 17546
 Description: Subtraction of a group element from itself. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o 0 = (0g𝐺)
grpsubid.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpsubid ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grpsubid
StepHypRef Expression
1 grpsubid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2651 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 eqid 2651 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4 grpsubid.m . . . . 5 = (-g𝐺)
51, 2, 3, 4grpsubval 17512 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑋)))
65anidms 678 . . 3 (𝑋𝐵 → (𝑋 𝑋) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑋)))
76adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑋)))
8 grpsubid.o . . 3 0 = (0g𝐺)
91, 2, 8, 3grprinv 17516 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑋)) = 0 )
107, 9eqtrd 2685 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470  -gcsg 17471 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474 This theorem is referenced by:  grppncan  17553  grpnpncan0  17558  issubg4  17660  0nsg  17686  gexdvds  18045  abladdsub4  18265  ablpncan2  18267  ablpnpcan  18271  ablnncan  18272  telgsums  18436  dprdfeq0  18467  lmodsubid  18971  dmatsubcl  20352  mdetuni0  20475  chpmat0d  20687  chpdmatlem2  20692  tgpconncomp  21963  tgpt0  21969  tgptsmscls  22000  deg1sublt  23915  lgsqrlem1  25116  archiabllem1a  29873  archiabllem2a  29876  archiabllem2c  29877  ornglmulle  29933  orngrmulle  29934  lfl0  34670  eqlkr  34704  lkrlsp  34707  lclkrlem2m  37125  lcfrlem1  37148  hdmapinvlem3  37529
 Copyright terms: Public domain W3C validator