Theorem grpsubcl 17696

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 17695	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovrn 6969	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1167	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   × cxp 5264  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  Grpcgrp 17623  -_gcsg 17625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628

This theorem is referenced by:  grpsubsub  17705  grpsubsub4  17709  grpnpncan  17711  grpnnncan2  17713  dfgrp3  17715  nsgconj  17828  nsgacs  17831  nsgid  17841  ghmnsgpreima  17886  ghmeqker  17888  ghmf1  17890  conjghm  17892  conjnmz  17895  conjnmzb  17896  sylow3lem2  18243  abladdsub4  18419  abladdsub  18420  ablpncan3  18422  ablsubsub4  18424  ablpnpcan  18425  ablnnncan  18428  ablnnncan1  18429  telgsumfzslem  18585  telgsumfzs  18586  telgsums  18590  lmodvsubcl  19110  lvecvscan2  19314  coe1subfv  19838  evl1subd  19908  ipsubdir  20189  ipsubdi  20190  ip2subdi  20191  dmatsubcl  20506  scmatsubcl  20525  mdetunilem9  20628  mdetuni0  20629  chmatcl  20835  chpmat1d  20843  chpdmatlem1  20845  chpscmat  20849  chpidmat  20854  chfacfisf  20861  cpmadugsumlemF  20883  cpmidgsum2  20886  tgpconncomp  22117  ghmcnp  22119  nrmmetd  22580  ngpds2  22611  ngpds3  22613  isngp4  22617  nmsub  22628  nm2dif  22630  nmtri2  22632  subgngp  22640  ngptgp  22641  nrgdsdi  22670  nrgdsdir  22671  nlmdsdi  22686  nlmdsdir  22687  nrginvrcnlem  22696  nmods  22749  tchcphlem1  23234  tchcph  23236  cphipval2  23240  4cphipval2  23241  cphipval  23242  ipcnlem2  23243  deg1sublt  24069  ply1divmo  24094  ply1divex  24095  r1pcl  24116  r1pid  24118  ply1remlem  24121  ig1peu  24130  dchr2sum  25197  lgsqrlem2  25271  lgsqrlem3  25272  lgsqrlem4  25273  ttgcontlem1  25964  ogrpsublt  30031  archiabllem1a  30054  archiabllem2a  30057  archiabllem2c  30058  ornglmulle  30114  orngrmulle  30115  lclkrlem2m  37310  idomrootle  38275  lidldomn1  42431  linply1  42691