MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grprid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grprid 17674
Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p + = (+g𝐺)
grplid.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grprid ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid
StepHypRef Expression
1 grpmnd 17650 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2 grpbn0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grplid.p . . 3 + = (+g𝐺)
4 grplid.o . . 3 0 = (0g𝐺)
52, 3, 4mndrid 17533 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
61, 5sylan 489 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322  Mndcmnd 17515  Grpcgrp 17643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646
This theorem is referenced by:  grprcan  17676  grpinvid1  17691  grpinvid2  17692  grpidinv2  17695  grpasscan2  17700  grpidrcan  17701  grpsubid1  17721  grpsubadd  17724  grppncan  17727  mulgaddcom  17785  mulgdirlem  17793  mulgmodid  17802  nmzsubg  17856  0nsg  17860  cntzsubg  17989  cayleylem2  18053  odbezout  18195  lsmdisj2  18315  pj1lid  18334  frgpuplem  18405  abladdsub4  18439  odadd2  18472  gex2abl  18474  ringlz  18807  isabvd  19042  lmod0vrid  19116  lmodfopne  19123  islmhm2  19260  mplcoe1  19687  lsmcss  20258  mdetero  20638  mdetunilem6  20645  opnsubg  22132  tgpconncompeqg  22136  snclseqg  22140  clmvz  23131  deg1add  24082  ogrpaddltbi  30049  ogrpinvlt  30054  archiabllem2a  30078  archiabllem2c  30079  lflmul  34876  cdlemn4  37007  mapdh6cN  37547  hdmap1l6c  37622  hdmapinvlem3  37732  hdmapinvlem4  37733  hdmapglem7b  37740  rnglz  42412
  Copyright terms: Public domain W3C validator