MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpplusfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpplusfo 17642
Description: The group addition operation is a function onto the base set/set of group elements. (Contributed by NM, 30-Oct-2006.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
grpplusf.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpplusf.2 𝐹 = (+𝑓𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpplusfo (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto𝐵)

Proof of Theorem grpplusfo
StepHypRef Expression
1 grpmnd 17636 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2 grpplusf.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpplusf.2 . . 3 𝐹 = (+𝑓𝐺)
42, 3mndpfo 17521 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto𝐵)
51, 4syl 17 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:(𝐵 × 𝐵)–onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1630  wcel 2144   × cxp 5247  ontowfo 6029  cfv 6031  Basecbs 16063  +𝑓cplusf 17446  Mndcmnd 17501  Grpcgrp 17629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fo 6037  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-0g 16309  df-plusf 17448  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632
This theorem is referenced by:  resgrpplusfrn  17643
  Copyright terms: Public domain W3C validator