MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grporinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grporinv 27721
Description: The right inverse of a group element. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinv.1 𝑋 = ran 𝐺
grpinv.2 𝑈 = (GId‘𝐺)
grpinv.3 𝑁 = (inv‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
grporinv ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(𝑁𝐴)) = 𝑈)

Proof of Theorem grporinv
StepHypRef Expression
1 grpinv.1 . . 3 𝑋 = ran 𝐺
2 grpinv.2 . . 3 𝑈 = (GId‘𝐺)
3 grpinv.3 . . 3 𝑁 = (inv‘𝐺)
41, 2, 3grpoinv 27719 . 2 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑁𝐴)𝐺𝐴) = 𝑈 ∧ (𝐴𝐺(𝑁𝐴)) = 𝑈))
54simprd 483 1 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(𝑁𝐴)) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6793  GrpOpcgr 27683  GIdcgi 27684  invcgn 27685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689
This theorem is referenced by:  grpoinvid1  27722  grpoinvid2  27723  grpo2inv  27725  grpoinvop  27727  grpodivid  27736  vcm  27771  nvrinv  27846  rngoaddneg1  34059
  Copyright terms: Public domain W3C validator