Theorem grpolinv 27720

Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 27-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.1	⊢ 𝑋 = ran 𝐺
grpinv.2	⊢ 𝑈 = (GId‘𝐺)
grpinv.3	⊢ 𝑁 = (inv‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpolinv	⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴)𝐺𝐴) = 𝑈)

Proof of Theorem grpolinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
2		grpinv.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (GId‘𝐺)
3		grpinv.3	. . 3 ⊢ 𝑁 = (inv‘𝐺)
4	1, 2, 3	grpoinv 27719	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘𝐴)𝐺𝐴) = 𝑈 ∧ (𝐴𝐺(𝑁‘𝐴)) = 𝑈))
5	4	simpld 482	1 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴)𝐺𝐴) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ran crn 5250  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  GrpOpcgr 27683  GIdcgi 27684  invcgn 27685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689

This theorem is referenced by:  grpoinvid1  27722  grpoinvid2  27723  grpolcan  27724  grpo2inv  27725  grponpcan  27737  nvlinv  27847  hhssabloilem  28458  rngoaddneg2  34060  isdrngo2  34089