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Theorem grpoideu 27491
Description: The left identity element of a group is unique. Lemma 2.2.1(a) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 14-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpfo.1 𝑋 = ran 𝐺
Assertion
Ref Expression
grpoideu (𝐺 ∈ GrpOp → ∃!𝑢𝑋𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝐺   𝑢,𝑋,𝑥

Proof of Theorem grpoideu
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpfo.1 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
21grpoidinv 27490 . . 3 (𝐺 ∈ GrpOp → ∃𝑢𝑋𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)))
3 simpll 805 . . . . . . . . 9 ((((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → (𝑢𝐺𝑧) = 𝑧)
43ralimi 2981 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∀𝑧𝑋 (𝑢𝐺𝑧) = 𝑧)
5 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (𝑢𝐺𝑧) = (𝑢𝐺𝑥))
6 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥𝑧 = 𝑥)
75, 6eqeq12d 2666 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ↔ (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥))
87cbvralv 3201 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑋 (𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
94, 8sylib 208 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
109adantl 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
119ad2antlr 763 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
12 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))
1312ralimi 2981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))
14 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑤 → (𝑦𝐺𝑧) = (𝑦𝐺𝑤))
1514eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ↔ (𝑦𝐺𝑤) = 𝑢))
16 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐺𝑦) = (𝑤𝐺𝑦))
1716eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐺𝑦) = 𝑢 ↔ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
1815, 17anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → (((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢) ↔ ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢)))
1918rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢) ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢)))
2019rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
2120adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
2213, 21sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
231grpoidinvlem4 27489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢)) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2422, 23syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2524an32s 863 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2625adantllr 755 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2726adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
28 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢 → (𝑤𝐺𝑥) = (𝑤𝐺𝑢))
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢𝑥 = 𝑢)
3028, 29eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑤𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢))
3130rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
3231adantll 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
3332ad2ant2rl 800 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
3433adantllr 755 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
35 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → (𝑢𝐺𝑥) = (𝑢𝐺𝑤))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
3735, 36eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑢𝐺𝑤) = 𝑤))
3837rspcva 3338 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥) → (𝑢𝐺𝑤) = 𝑤)
3938ad2ant2lr 799 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑢𝐺𝑤) = 𝑤)
4027, 34, 393eqtr3d 2693 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → 𝑢 = 𝑤)
4140ex 449 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → ((∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥) → 𝑢 = 𝑤))
4211, 41mpand 711 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))
4342ralrimiva 2995 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))
4410, 43jca 553 . . . . 5 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤)))
4544ex 449 . . . 4 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) → (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))))
4645reximdva 3046 . . 3 (𝐺 ∈ GrpOp → (∃𝑢𝑋𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑢𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))))
472, 46mpd 15 . 2 (𝐺 ∈ GrpOp → ∃𝑢𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤)))
48 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢𝐺𝑥) = (𝑤𝐺𝑥))
4948eqeq1d 2653 . . . 4 (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥))
5049ralbidv 3015 . . 3 (𝑢 = 𝑤 → (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥))
5150reu8 3435 . 2 (∃!𝑢𝑋𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ ∃𝑢𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤)))
5247, 51sylibr 224 1 (𝐺 ∈ GrpOp → ∃!𝑢𝑋𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  ∃!wreu 2943  ran crn 5144  (class class class)co 6690  GrpOpcgr 27471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fo 5932  df-fv 5934  df-ov 6693  df-grpo 27475
This theorem is referenced by:  grpoidval  27495  grpoidcl  27496  grpoidinv2  27497  cnidOLD  27565  hilid  28146
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