Theorem grpodivcl 27724

Description: Closure of group division (or subtraction) operation. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpdivf.1	⊢ 𝑋 = ran 𝐺
grpdivf.3	⊢ 𝐷 = ( /𝑔 ‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpodivcl	⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem grpodivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpdivf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
2		grpdivf.3	. . 3 ⊢ 𝐷 = ( /𝑔 ‘𝐺)
3	1, 2	grpodivf 27723	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ GrpOp → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
4		fovrn 6971	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ 𝑋)
5	3, 4	syl3an1 1167	1 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   × cxp 5265  ran crn 5268  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  GrpOpcgr 27674   /_𝑔 cgs 27677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-grpo 27678  df-gid 27679  df-ginv 27680  df-gdiv 27681

This theorem is referenced by:  grpodivdiv  27725  ablomuldiv  27737  ablodivdiv4  27739  ablonnncan  27741  ablonnncan1  27743  ablo4pnp  34011  ghomdiv  34023  grpokerinj  34024  dmncan1  34207