Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grplinv 17675
 Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinv.p + = (+g𝐺)
grpinv.u 0 = (0g𝐺)
grpinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grplinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grplinv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 grpinv.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
3 grpinv.u . . . . 5 0 = (0g𝐺)
4 grpinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
51, 2, 3, 4grpinvval 17668 . . . 4 (𝑋𝐵 → (𝑁𝑋) = (𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
65adantl 467 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
71, 2, 3grpinveu 17663 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ∃!𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 )
8 riotacl2 6766 . . . 4 (∃!𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 → (𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
106, 9eqeltrd 2849 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
11 oveq1 6799 . . . . 5 (𝑦 = (𝑁𝑋) → (𝑦 + 𝑋) = ((𝑁𝑋) + 𝑋))
1211eqeq1d 2772 . . . 4 (𝑦 = (𝑁𝑋) → ((𝑦 + 𝑋) = 0 ↔ ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 ))
1312elrab 3513 . . 3 ((𝑁𝑋) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } ↔ ((𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 ))
1413simprbi 478 . 2 ((𝑁𝑋) ∈ {𝑦𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 )
1510, 14syl 17 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋) + 𝑋) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∃!wreu 3062  {crab 3064  ‘cfv 6031  ℩crio 6752  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  0gc0g 16307  Grpcgrp 17629  invgcminusg 17630 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633 This theorem is referenced by:  grprinv  17676  grpinvid1  17677  grpinvid2  17678  isgrpinv  17679  grplrinv  17680  grplcan  17684  grpasscan2  17686  grpinvinv  17689  grpinvssd  17699  grpsubadd  17710  grplactcnv  17725  prdsinvlem  17731  imasgrp  17738  ghmgrp  17746  mulgdirlem  17779  issubg2  17816  isnsg3  17835  nmzsubg  17842  ssnmz  17843  eqger  17851  qusgrp  17856  conjghm  17898  galcan  17943  cntzsubg  17975  lsmmod  18294  lsmdisj2  18301  rngnegr  18802  unitlinv  18884  isdrng2  18966  lmodvneg1  19115  psrlinv  19611  evpmodpmf1o  20157  grpvlinv  20417  tgpconncompeqg  22134  qustgpopn  22142  clmvslinv  23126  ogrpinv0le  30050  ogrpaddltrbid  30055  ogrpinv0lt  30057  ogrpinvlt  30058  lflnegl  34878  dvhgrp  36910
 Copyright terms: Public domain W3C validator