MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpissubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpissubg 17815
Description: If the base set of a group is contained in the base set of another group, and the group operation of the group is the restriction of the group operation of the other group to its base set, then the (base set of the) group is subgroup of the other group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
grpissubg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpissubg.s 𝑆 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
grpissubg ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

Proof of Theorem grpissubg
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . 4 ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆𝐵)
21adantl 473 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆𝐵)
3 grpissubg.s . . . . 5 𝑆 = (Base‘𝐻)
43grpbn0 17652 . . . 4 (𝐻 ∈ Grp → 𝑆 ≠ ∅)
54ad2antlr 765 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ≠ ∅)
6 ovres 6965 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏) = (𝑎(+g𝐺)𝑏))
76adantll 752 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → (𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏) = (𝑎(+g𝐺)𝑏))
8 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝐻 ∈ Grp)
98ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → 𝐻 ∈ Grp)
10 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → 𝑎𝑆)
11 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → 𝑏𝑆)
12 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (+g𝐻) = (+g𝐻)
133, 12grpcl 17631 . . . . . . . . 9 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎(+g𝐻)𝑏) ∈ 𝑆)
149, 10, 11, 13syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → (𝑎(+g𝐻)𝑏) ∈ 𝑆)
15 oveq 6819 . . . . . . . . . . . . 13 ((+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)) → (𝑎(+g𝐻)𝑏) = (𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏))
1615eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)) → (𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏) = (𝑎(+g𝐻)𝑏))
1716eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 ((+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)) → ((𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g𝐻)𝑏) ∈ 𝑆))
1817adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → ((𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g𝐻)𝑏) ∈ 𝑆))
1918adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ((𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g𝐻)𝑏) ∈ 𝑆))
2019ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → ((𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g𝐻)𝑏) ∈ 𝑆))
2114, 20mpbird 247 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → (𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏) ∈ 𝑆)
227, 21eqeltrrd 2840 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆)
2322ralrimiva 3104 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) → ∀𝑏𝑆 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆)
24 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → 𝐺 ∈ Grp)
2524adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝐺 ∈ Grp)
26 grpissubg.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐺)
2726sseq2i 3771 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐵𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
2827biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝐵𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
2928adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3029adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
31 ovres 6965 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
3231adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
33 oveq 6819 . . . . . . . . . . . . 13 ((+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦))
3433adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦))
3534eqcomd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
3635ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
3732, 36eqtr3d 2796 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
3837ralrimivva 3109 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
3925, 8, 3, 30, 38grpinvssd 17693 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑎𝑆 → ((invg𝐻)‘𝑎) = ((invg𝐺)‘𝑎)))
4039imp 444 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) → ((invg𝐻)‘𝑎) = ((invg𝐺)‘𝑎))
41 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (invg𝐻) = (invg𝐻)
423, 41grpinvcl 17668 . . . . . . . . 9 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑎𝑆) → ((invg𝐻)‘𝑎) ∈ 𝑆)
4342ex 449 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ Grp → (𝑎𝑆 → ((invg𝐻)‘𝑎) ∈ 𝑆))
4443ad2antlr 765 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑎𝑆 → ((invg𝐻)‘𝑎) ∈ 𝑆))
4544imp 444 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) → ((invg𝐻)‘𝑎) ∈ 𝑆)
4640, 45eqeltrrd 2840 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)
4723, 46jca 555 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) → (∀𝑏𝑆 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
4847ralrimiva 3104 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ∀𝑎𝑆 (∀𝑏𝑆 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
49 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
50 eqid 2760 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
5126, 49, 50issubg2 17810 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝑆 (∀𝑏𝑆 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))))
5251ad2antrr 764 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝑆 (∀𝑏𝑆 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))))
532, 5, 48, 52mpbir3and 1428 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5453ex 449 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wss 3715  c0 4058   × cxp 5264  cres 5268  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  Grpcgrp 17623  invgcminusg 17624  SubGrpcsubg 17789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-subg 17792
This theorem is referenced by:  resgrpisgrp  17816  pgrpsubgsymg  18028
  Copyright terms: Public domain W3C validator