MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvnzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvnzcl 17534
Description: The inverse of a nonzero group element is a nonzero group element. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvnzcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvnzcl.z 0 = (0g𝐺)
grpinvnzcl.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvnzcl ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem grpinvnzcl
StepHypRef Expression
1 eldifi 3765 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋𝐵)
2 grpinvnzcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpinvnzcl.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
42, 3grpinvcl 17514 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
51, 4sylan2 490 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
6 eldifsn 4350 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝐵𝑋0 ))
7 grpinvnzcl.z . . . . 5 0 = (0g𝐺)
82, 7, 3grpinvnz 17533 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝑁𝑋) ≠ 0 )
983expb 1285 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝑁𝑋) ≠ 0 )
106, 9sylan2b 491 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁𝑋) ≠ 0 )
11 eldifsn 4350 . 2 ((𝑁𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁𝑋) ≠ 0 ))
125, 10, 11sylanbrc 699 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cdif 3604  {csn 4210  cfv 5926  Basecbs 15904  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473
This theorem is referenced by:  islindf4  20225  baerlem5amN  37322  baerlem5bmN  37323  baerlem5abmN  37324  hdmap1neglem1N  37434  lindslinindsimp1  42571  lindslinindsimp2lem5  42576
  Copyright terms: Public domain W3C validator