Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvinv 17529
 Description: Double inverse law for groups. Lemma 2.2.1(c) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem grpinvinv
StepHypRef Expression
1 grpinvinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 grpinvinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
31, 2grpinvcl 17514 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
4 eqid 2651 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 eqid 2651 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
61, 4, 5, 2grprinv 17516 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋)(+g𝐺)(𝑁‘(𝑁𝑋))) = (0g𝐺))
73, 6syldan 486 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋)(+g𝐺)(𝑁‘(𝑁𝑋))) = (0g𝐺))
81, 4, 5, 2grplinv 17515 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋)(+g𝐺)𝑋) = (0g𝐺))
97, 8eqtr4d 2688 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁𝑋)(+g𝐺)(𝑁‘(𝑁𝑋))) = ((𝑁𝑋)(+g𝐺)𝑋))
10 simpl 472 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
111, 2grpinvcl 17514 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) ∈ 𝐵)
123, 11syldan 486 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) ∈ 𝐵)
13 simpr 476 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
141, 4grplcan 17524 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑁‘(𝑁𝑋)) ∈ 𝐵𝑋𝐵 ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)) → (((𝑁𝑋)(+g𝐺)(𝑁‘(𝑁𝑋))) = ((𝑁𝑋)(+g𝐺)𝑋) ↔ (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋))
1510, 12, 13, 3, 14syl13anc 1368 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (((𝑁𝑋)(+g𝐺)(𝑁‘(𝑁𝑋))) = ((𝑁𝑋)(+g𝐺)𝑋) ↔ (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋))
169, 15mpbid 222 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473 This theorem is referenced by:  grpinv11  17531  grpinvnz  17533  grpsubinv  17535  grpinvsub  17544  grpsubeq0  17548  grpnpcan  17554  mulgneg  17607  mulgnegneg  17608  mulginvinv  17613  mulgdir  17620  mulgass  17626  eqger  17691  frgpuptinv  18230  ablsub2inv  18262  mulgdi  18278  invghm  18285  ringm2neg  18644  unitinvinv  18721  unitnegcl  18727  irrednegb  18757  abvneg  18882  lspsnneg  19054  islindf4  20225  tgpconncomp  21963  archirngz  29871  archiabllem1b  29874  baerlem5amN  37322  baerlem5bmN  37323  baerlem5abmN  37324
 Copyright terms: Public domain W3C validator