MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvid 17697
Description: The inverse of the identity element of a group. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvid.u 0 = (0g𝐺)
grpinvid.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvid (𝐺 ∈ Grp → (𝑁0 ) = 0 )

Proof of Theorem grpinvid
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 grpinvid.u . . . 4 0 = (0g𝐺)
31, 2grpidcl 17671 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4 eqid 2760 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
51, 4, 2grplid 17673 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
63, 5mpdan 705 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
7 grpinvid.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
81, 4, 2, 7grpinvid1 17691 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 ))
93, 3, 8mpd3an23 1575 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 ))
106, 9mpbird 247 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝑁0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322  Grpcgrp 17643  invgcminusg 17644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647
This theorem is referenced by:  grpinvnz  17707  grpsubid1  17721  mulgneg  17781  mulginvcom  17786  mulgz  17789  0subg  17840  eqgid  17867  odnncl  18184  gexdvds  18219  gsumzinv  18565  gsumsub  18568  dprdfinv  18638  mplsubglem  19656  dsmmsubg  20309  dchrisum0re  25422  baerlem3lem1  37516
  Copyright terms: Public domain W3C validator