MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpbn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpbn0 17498
Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
grpbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpbn0 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0
StepHypRef Expression
1 grpbn0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2651 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
31, 2grpidcl 17497 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
4 ne0i 3954 . 2 ((0g𝐺) ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅)
53, 4syl 17 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  c0 3948  cfv 5926  Basecbs 15904  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472
This theorem is referenced by:  grpn0  17501  dfgrp3  17561  issubg2  17656  grpissubg  17661  ghmrn  17720  gexcl3  18048  gexcl2  18050  sylow1lem1  18059  sylow1lem3  18061  sylow1lem5  18063  pgpfi  18066  pgpfi2  18067  sylow2blem3  18083  slwhash  18085  fislw  18086  gexex  18302  lt6abl  18342  ablfac1lem  18513  ablfac1b  18515  ablfac1c  18516  ablfac1eu  18518  pgpfac1lem2  18520  pgpfac1lem3a  18521  ablfaclem3  18532  dvdsr02  18702  lmodbn0  18921  lmodsn0  18924  rmodislmodlem  18978  rmodislmod  18979  islss3  19007  0ringnnzr  19317  isclmp  22943  dfacbasgrp  37995
  Copyright terms: Public domain W3C validator