MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpass 17603
Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpass ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass
StepHypRef Expression
1 grpmnd 17601 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2 grpcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpcl.p . . 3 + = (+g𝐺)
42, 3mndass 17474 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
51, 4sylan 489 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  +gcplusg 16114  Mndcmnd 17466  Grpcgrp 17594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-nul 4929
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-iota 6000  df-fv 6045  df-ov 6804  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597
This theorem is referenced by:  grprcan  17627  grprinv  17641  grpinvid1  17642  grpinvid2  17643  grplcan  17649  grpasscan1  17650  grpasscan2  17651  grplmulf1o  17661  grpinvadd  17665  grpsubadd  17675  grpaddsubass  17677  grpsubsub4  17680  dfgrp3  17686  grplactcnv  17690  imasgrp  17703  mulgaddcomlem  17735  mulgaddcom  17736  mulgdirlem  17744  issubg2  17781  isnsg3  17800  nmzsubg  17807  ssnmz  17808  eqger  17816  eqgcpbl  17820  qusgrp  17821  conjghm  17863  conjnmz  17866  subgga  17904  cntzsubg  17940  sylow1lem2  18185  sylow2blem1  18206  sylow2blem2  18207  sylow2blem3  18208  sylow3lem1  18213  sylow3lem2  18214  lsmass  18254  lsmmod  18259  lsmdisj2  18266  gex2abl  18425  ringcom  18750  lmodass  19051  psrgrp  19571  evpmodpmf1o  20115  ghmcnp  22090  qustgpopn  22095  cnncvsaddassdemo  23134  ogrpaddltbi  29999  ogrpaddltrbid  30001  ogrpinvlt  30004  archiabllem2c  30029  lfladdass  34832  dvhvaddass  36857
  Copyright terms: Public domain W3C validator