Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  glbconN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem glbconN 34981
Description: De Morgan's law for GLB and LUB. This holds in any complete ortholattice, although we assume HL for convenience. (Contributed by NM, 17-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
glbcon.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
glbcon.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
glbcon.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbcon.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
glbconN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) = ( ‘(𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem glbconN
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfin5 3615 . . . 4 (𝐵𝑆) = {𝑥𝐵𝑥𝑆}
2 sseqin2 3850 . . . . 5 (𝑆𝐵 ↔ (𝐵𝑆) = 𝑆)
32biimpi 206 . . . 4 (𝑆𝐵 → (𝐵𝑆) = 𝑆)
41, 3syl5reqr 2700 . . 3 (𝑆𝐵𝑆 = {𝑥𝐵𝑥𝑆})
54fveq2d 6233 . 2 (𝑆𝐵 → (𝐺𝑆) = (𝐺‘{𝑥𝐵𝑥𝑆}))
6 glbcon.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 eqid 2651 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 glbcon.g . . . 4 𝐺 = (glb‘𝐾)
9 biid 251 . . . 4 ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦)) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦)))
10 id 22 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ HL)
11 ssrab2 3720 . . . . 5 {𝑥𝐵𝑥𝑆} ⊆ 𝐵
1211a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → {𝑥𝐵𝑥𝑆} ⊆ 𝐵)
136, 7, 8, 9, 10, 12glbval 17044 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝐺‘{𝑥𝐵𝑥𝑆}) = (𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦))))
14 hlop 34967 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
15 hlclat 34963 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
166, 8clatglbcl 17161 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ⊆ 𝐵) → (𝐺‘{𝑥𝐵𝑥𝑆}) ∈ 𝐵)
1715, 11, 16sylancl 695 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → (𝐺‘{𝑥𝐵𝑥𝑆}) ∈ 𝐵)
1813, 17eqeltrrd 2731 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦))) ∈ 𝐵)
19 fvex 6239 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) ∈ V
206, 19eqeltri 2726 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2120riotaclbBAD 34559 . . . . 5 (∃!𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦)) ↔ (𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦))) ∈ 𝐵)
2218, 21sylibr 224 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → ∃!𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦)))
23 glbcon.o . . . . 5 = (oc‘𝐾)
24 breq1 4688 . . . . . . 7 (𝑦 = ( 𝑣) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧))
2524ralbidv 3015 . . . . . 6 (𝑦 = ( 𝑣) → (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧))
26 breq2 4689 . . . . . . . 8 (𝑦 = ( 𝑣) → (𝑤(le‘𝐾)𝑦𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)))
2726imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑦 = ( 𝑣) → ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))))
2827ralbidv 3015 . . . . . 6 (𝑦 = ( 𝑣) → (∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦) ↔ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))))
2925, 28anbi12d 747 . . . . 5 (𝑦 = ( 𝑣) → ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦)) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)))))
306, 23, 29riotaocN 34814 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ∃!𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦))) → (𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦))) = ( ‘(𝑣𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))))))
3114, 22, 30syl2anc 694 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑦𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)𝑦))) = ( ‘(𝑣𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))))))
3214ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
336, 23opoccl 34799 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑢𝐵) → ( 𝑢) ∈ 𝐵)
3432, 33sylancom 702 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → ( 𝑢) ∈ 𝐵)
3514ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
366, 23opoccl 34799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑧𝐵) → ( 𝑧) ∈ 𝐵)
3735, 36sylancom 702 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ( 𝑧) ∈ 𝐵)
386, 23opococ 34800 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑧𝐵) → ( ‘( 𝑧)) = 𝑧)
3935, 38sylancom 702 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ( ‘( 𝑧)) = 𝑧)
4039eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 = ( ‘( 𝑧)))
41 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = ( 𝑧) → ( 𝑢) = ( ‘( 𝑧)))
4241eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = ( 𝑧) → (𝑧 = ( 𝑢) ↔ 𝑧 = ( ‘( 𝑧))))
4342rspcev 3340 . . . . . . . . . . 11 ((( 𝑧) ∈ 𝐵𝑧 = ( ‘( 𝑧))) → ∃𝑢𝐵 𝑧 = ( 𝑢))
4437, 40, 43syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ∃𝑢𝐵 𝑧 = ( 𝑢))
45 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ( 𝑢) → (𝑧𝑆 ↔ ( 𝑢) ∈ 𝑆))
46 breq2 4689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ( 𝑢) → (( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ↔ ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢)))
4745, 46imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ( 𝑢) → ((𝑧𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢))))
4847adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑧 = ( 𝑢)) → ((𝑧𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢))))
4934, 44, 48ralxfrd 4909 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢))))
50 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢𝐵)
51 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑣𝐵)
526, 7, 23oplecon3b 34805 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑢𝐵𝑣𝐵) → (𝑢(le‘𝐾)𝑣 ↔ ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢)))
5332, 50, 51, 52syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑢(le‘𝐾)𝑣 ↔ ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢)))
5453imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → ((( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑣) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢))))
5554ralbidva 3014 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑣) ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)( 𝑢))))
5649, 55bitr4d 271 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑣)))
57 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑆𝑧𝑆))
5857ralrab 3401 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧))
59 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑢 → ( 𝑥) = ( 𝑢))
6059eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑢 → (( 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ( 𝑢) ∈ 𝑆))
6160ralrab 3401 . . . . . . . 8 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑣))
6256, 58, 613bitr4g 303 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣))
6314ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
646, 23opoccl 34799 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑡𝐵) → ( 𝑡) ∈ 𝐵)
6563, 64sylancom 702 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → ( 𝑡) ∈ 𝐵)
6614ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
676, 23opoccl 34799 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑤𝐵) → ( 𝑤) ∈ 𝐵)
6866, 67sylancom 702 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤𝐵) → ( 𝑤) ∈ 𝐵)
696, 23opococ 34800 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑤𝐵) → ( ‘( 𝑤)) = 𝑤)
7066, 69sylancom 702 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤𝐵) → ( ‘( 𝑤)) = 𝑤)
7170eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤𝐵) → 𝑤 = ( ‘( 𝑤)))
72 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = ( 𝑤) → ( 𝑡) = ( ‘( 𝑤)))
7372eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = ( 𝑤) → (𝑤 = ( 𝑡) ↔ 𝑤 = ( ‘( 𝑤))))
7473rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 ((( 𝑤) ∈ 𝐵𝑤 = ( ‘( 𝑤))) → ∃𝑡𝐵 𝑤 = ( 𝑡))
7568, 71, 74syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤𝐵) → ∃𝑡𝐵 𝑤 = ( 𝑡))
76 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = ( 𝑡) → (𝑤(le‘𝐾)𝑧 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧))
7776ralbidv 3015 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = ( 𝑡) → (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧))
78 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = ( 𝑡) → (𝑤(le‘𝐾)( 𝑣) ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣)))
7977, 78imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ( 𝑡) → ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣))))
8079adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑤 = ( 𝑡)) → ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣))))
8165, 75, 80ralxfrd 4909 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)) ↔ ∀𝑡𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣))))
8214ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
83 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑢𝐵)
84 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → 𝑡𝐵)
856, 7, 23oplecon3b 34805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑢𝐵𝑡𝐵) → (𝑢(le‘𝐾)𝑡 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢)))
8682, 83, 84, 85syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑢(le‘𝐾)𝑡 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢)))
8786imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → ((( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑡) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢))))
8887ralbidva 3014 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → (∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑡) ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢))))
8982, 33sylancom 702 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑢𝐵) → ( 𝑢) ∈ 𝐵)
9014ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
9190, 36sylancom 702 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ( 𝑧) ∈ 𝐵)
9290, 38sylancom 702 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ( ‘( 𝑧)) = 𝑧)
9392eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 = ( ‘( 𝑧)))
9491, 93, 43syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ∃𝑢𝐵 𝑧 = ( 𝑢))
95 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ( 𝑢) → (( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢)))
9645, 95imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ( 𝑢) → ((𝑧𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢))))
9796adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) ∧ 𝑧 = ( 𝑢)) → ((𝑧𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧) ↔ (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢))))
9889, 94, 97ralxfrd 4909 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → (∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑢))))
9988, 98bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → (∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑡) ↔ ∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧)))
10060ralrab 3401 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡 ↔ ∀𝑢𝐵 (( 𝑢) ∈ 𝑆𝑢(le‘𝐾)𝑡))
10157ralrab 3401 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑧𝐵 (𝑧𝑆 → ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧))
10299, 100, 1013bitr4g 303 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧))
103 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → 𝑣𝐵)
104 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → 𝑡𝐵)
1056, 7, 23oplecon3b 34805 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑣𝐵𝑡𝐵) → (𝑣(le‘𝐾)𝑡 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣)))
10663, 103, 104, 105syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → (𝑣(le‘𝐾)𝑡 ↔ ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣)))
107102, 106imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑡𝐵) → ((∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣))))
108107ralbidva 3014 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡) ↔ ∀𝑡𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑡)(le‘𝐾)𝑧 → ( 𝑡)(le‘𝐾)( 𝑣))))
10981, 108bitr4d 271 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → (∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)) ↔ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡)))
11062, 109anbi12d 747 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑣𝐵) → ((∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))) ↔ (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡))))
111110riotabidva 6667 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (𝑣𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)))) = (𝑣𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡))))
112 ssrab2 3720 . . . . . 6 {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆} ⊆ 𝐵
113 glbcon.u . . . . . . 7 𝑈 = (lub‘𝐾)
114 biid 251 . . . . . . 7 ((∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡)) ↔ (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡)))
115 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆} ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
116 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆} ⊆ 𝐵) → {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆} ⊆ 𝐵)
1176, 7, 113, 114, 115, 116lubval 17031 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆} ⊆ 𝐵) → (𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}) = (𝑣𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡))))
118112, 117mpan2 707 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}) = (𝑣𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑣 ∧ ∀𝑡𝐵 (∀𝑢 ∈ {𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}𝑢(le‘𝐾)𝑡𝑣(le‘𝐾)𝑡))))
119111, 118eqtr4d 2688 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → (𝑣𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣)))) = (𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆}))
120119fveq2d 6233 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ( ‘(𝑣𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆} ( 𝑣)(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵𝑥𝑆}𝑤(le‘𝐾)𝑧𝑤(le‘𝐾)( 𝑣))))) = ( ‘(𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆})))
12113, 31, 1203eqtrd 2689 . 2 (𝐾 ∈ HL → (𝐺‘{𝑥𝐵𝑥𝑆}) = ( ‘(𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆})))
1225, 121sylan9eqr 2707 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) = ( ‘(𝑈‘{𝑥𝐵 ∣ ( 𝑥) ∈ 𝑆})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  ∃!wreu 2943  {crab 2945  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  crio 6650  Basecbs 15904  lecple 15995  occoc 15996  lubclub 16989  glbcglb 16990  CLatccla 17154  OPcops 34777  HLchlt 34955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-undef 7444  df-lub 17021  df-glb 17022  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-hlat 34956
This theorem is referenced by:  glbconxN  34982
  Copyright terms: Public domain W3C validator