Theorem gimghm 17927

Description: An isomorphism of groups is a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gimghm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Proof of Theorem gimghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3	1, 2	isgim 17925	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)–1-1-onto→(Base‘𝑆)))
4	3	simplbi 478	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079   GrpHom cghm 17878   GrpIso cgim 17920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-ghm 17879  df-gim 17922

This theorem is referenced by:  subggim  17929  giclcl  17935  gicrcl  17936  gicsubgen  17941  symgtrinv  18112  giccyg  18521  gsumzinv  18565  amgmlem  24936  abliso  30026  gicabl  38189  amgmwlem  43079