MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gicsym Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gicsym 17763
Description: Isomorphism is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
gicsym (𝑅𝑔 𝑆𝑆𝑔 𝑅)

Proof of Theorem gicsym
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 17758 . 2 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 3964 . . 3 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
3 gimcnv 17756 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑅))
4 brgici 17759 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑅) → 𝑆𝑔 𝑅)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑆𝑔 𝑅)
65exlimiv 1898 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑆𝑔 𝑅)
72, 6sylbi 207 . 2 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝑆𝑔 𝑅)
81, 7sylbi 207 1 (𝑅𝑔 𝑆𝑆𝑔 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  c0 3948   class class class wbr 4685  ccnv 5142  (class class class)co 6690   GrpIso cgim 17746  𝑔 cgic 17747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-1o 7605  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-gic 17749
This theorem is referenced by:  gicer  17765  cygznlem3  19966  cygth  19968  cyggic  19969
  Copyright terms: Public domain W3C validator