Theorem giclcl 17922

Description: Isomorphism implies the left side is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
giclcl	⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 → 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem giclcl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgic 17919	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4078	. . 3 ⊢ ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 264	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
4		gimghm 17914	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
5		ghmgrp1 17870	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	exlimiv 2010	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
8	3, 7	sylbi 207	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 → 𝑅 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1852   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∅c0 4063   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  Grpcgrp 17630   GrpHom cghm 17865   GrpIso cgim 17907   ≃_𝑔 cgic 17908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-1o 7713  df-ghm 17866  df-gim 17909  df-gic 17910

This theorem is referenced by:  gicer  17926