Theorem gexlem1 18200

Description: The group element order is either zero or a nonzero multiplier that annihilates the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexval.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexval.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
gexval.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gexval.4	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexval.i	⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
gexlem1	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem gexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		gexval.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		gexval.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		gexval.4	. . 3 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
5		gexval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
6	1, 2, 3, 4, 5	gexval 18199	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
7		eqeq2 2781	. . . 4 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (𝐸 = 0 ↔ 𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
8	7	imbi1d 330	. . 3 ⊢ (0 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)) ↔ (𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))))
9		eqeq2 2781	. . . 4 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) ↔ 𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))))
10	9	imbi1d 330	. . 3 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)) ↔ (𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))))
11		orc 847	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))
12	11	expcom 398	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → (𝐸 = 0 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)))
13	12	adantl 467	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐸 = 0 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)))
14		ssrab2 3834	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ⊆ ℕ
15		nnuz 11924	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	15	eqcomi 2779	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘1) = ℕ
17	14, 5, 16	3sstr4i 3791	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1)
18		df-ne 2943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐼 = ∅)
19	18	biimpri 218	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = ∅ → 𝐼 ≠ ∅)
20	19	adantl 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → 𝐼 ≠ ∅)
21		infssuzcl 11974	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
22	17, 20, 21	sylancr 567	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼)
23		eleq1a 2844	. . . . 5 ⊢ (inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ 𝐼 → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → 𝐸 ∈ 𝐼))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → 𝐸 ∈ 𝐼))
25		olc 848	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐼 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))
26	24, 25	syl6 35	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐼 = ∅) → (𝐸 = inf(𝐼, ℝ, < ) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)))
27	8, 10, 13, 26	ifbothda 4260	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸 = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼)))
28	6, 27	mpd 15	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐼 = ∅) ∨ 𝐸 ∈ 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   ∨ wo 826   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  ∀wral 3060  {crab 3064   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  ifcif 4223  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  infcinf 8502  ℝcr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   < clt 10275  ℕcn 11221  ℤ_≥cuz 11887  Basecbs 16063  0_gc0g 16307  ._gcmg 17747  gExcgex 18151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-gex 18155

This theorem is referenced by:  gexcl  18201  gexid  18202  gexdvds  18205