Theorem gexcl3 18048

Description: If the order of every group element is bounded by 𝑁, the group has finite exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexod.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexod.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexod.3	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexcl3	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem gexcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 472	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
2		gexod.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3	2	grpbn0 17498	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
4		r19.2z 4093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁))
5	3, 4	sylan 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁))
6		elfzuz2 12384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
7		nnuz 11761	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
8	6, 7	syl6eleqr 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
9	8	rexlimivw 3058	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
10	5, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	nnnn0d 11389	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		faccl 13110	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
14		elfzuzb 12374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝑂‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑂‘𝑥))))
15		elnnuz 11762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑂‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘1))
16		dvdsfac 15095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑂‘𝑥) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑂‘𝑥))) → (𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁))
17	15, 16	sylanbr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑂‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑂‘𝑥))) → (𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁))
18	14, 17	sylbi 207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → (𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁))
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁))
20		simpll 805	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
21		simplr 807	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22	8	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
23	22	nnnn0d 11389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24	23, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
25	24	nnzd 11519	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
26		gexod.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
27		eqid 2651	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
28		eqid 2651	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
29	2, 26, 27, 28	oddvds 18012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
30	20, 21, 25, 29	syl3anc 1366	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ((𝑂‘𝑥) ∥ (!‘𝑁) ↔ ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
31	19, 30	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
32	31	ex 449	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
33	32	ralimdva 2991	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
34	33	imp 444	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
35		gexod.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
36	2, 35, 27, 28	gexlem2 18043	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((!‘𝑁)(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)) → 𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)))
37	1, 13, 34, 36	syl3anc 1366	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)))
38		elfznn 12408	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ (1...(!‘𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)
39	37, 38	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑂‘𝑥) ∈ (1...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975  ℕcn 11058  ℕ₀cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ_≥cuz 11725  ...cfz 12364  !cfa 13100   ∥ cdvds 15027  Basecbs 15904  0_gc0g 16147  Grpcgrp 17469  ._gcmg 17587  odcod 17990  gExcgex 17991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-od 17994  df-gex 17995

This theorem is referenced by:  gexcl2  18050