Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexcl2 18224
 Description: The exponent of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl2.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl2.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gexcl2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)

Proof of Theorem gexcl2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexcl2.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2760 . . . . . 6 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
31, 2odcl2 18202 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ)
41, 2oddvds2 18203 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋))
53nnzd 11693 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ)
61grpbn0 17672 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
763ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
8 hashnncl 13369 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
983ad2ant2 1129 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
107, 9mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
11 dvdsle 15254 . . . . . . 7 ((((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋)))
125, 10, 11syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∥ (♯‘𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋)))
134, 12mpd 15 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋))
1410nnzd 11693 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
15 fznn 12621 . . . . . 6 ((♯‘𝑋) ∈ ℤ → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋))))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → (((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)) ↔ (((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑥) ≤ (♯‘𝑋))))
173, 13, 16mpbir2and 995 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)))
18173expa 1112 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑥𝑋) → ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)))
1918ralrimiva 3104 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∀𝑥𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋)))
20 gexcl2.2 . . 3 𝐸 = (gEx‘𝐺)
211, 20, 2gexcl3 18222 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑥) ∈ (1...(♯‘𝑋))) → 𝐸 ∈ ℕ)
2219, 21syldan 488 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∅c0 4058   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  1c1 10149   ≤ cle 10287  ℕcn 11232  ℤcz 11589  ...cfz 12539  ♯chash 13331   ∥ cdvds 15202  Basecbs 16079  Grpcgrp 17643  odcod 18164  gExcgex 18165 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-ec 7915  df-qs 7919  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-dvds 15203  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-eqg 17814  df-od 18168  df-gex 18169 This theorem is referenced by:  cyggexb  18520  pgpfac1lem3a  18695  pgpfaclem3  18702
 Copyright terms: Public domain W3C validator