MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gex1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gex1 18052
Description: A group or monoid has exponent 1 iff it is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl2.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl2.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gex1 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝑋 ≈ 1𝑜))

Proof of Theorem gex1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐸 = 1)
21oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐸(.g𝐺)𝑥) = (1(.g𝐺)𝑥))
3 gexcl2.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 gexcl2.2 . . . . . . . . . 10 𝐸 = (gEx‘𝐺)
5 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (.g𝐺) = (.g𝐺)
6 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
73, 4, 5, 6gexid 18042 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋 → (𝐸(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
87adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐸(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
93, 5mulg1 17595 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋 → (1(.g𝐺)𝑥) = 𝑥)
109adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → (1(.g𝐺)𝑥) = 𝑥)
112, 8, 103eqtr3rd 2694 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 = (0g𝐺))
12 velsn 4226 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
1311, 12sylibr 224 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
1413ex 449 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → (𝑥𝑋𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
1514ssrdv 3642 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 ⊆ {(0g𝐺)})
163, 6mndidcl 17355 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
1817snssd 4372 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → {(0g𝐺)} ⊆ 𝑋)
1915, 18eqssd 3653 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 = {(0g𝐺)})
20 fvex 6239 . . . 4 (0g𝐺) ∈ V
2120ensn1 8061 . . 3 {(0g𝐺)} ≈ 1𝑜
2219, 21syl6eqbr 4724 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 = 1) → 𝑋 ≈ 1𝑜)
23 simpl 472 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) → 𝐺 ∈ Mnd)
24 1nn 11069 . . . . 5 1 ∈ ℕ
2524a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) → 1 ∈ ℕ)
269adantl 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝑋) → (1(.g𝐺)𝑥) = 𝑥)
27 en1eqsn 8231 . . . . . . . . . 10 (((0g𝐺) ∈ 𝑋𝑋 ≈ 1𝑜) → 𝑋 = {(0g𝐺)})
2816, 27sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) → 𝑋 = {(0g𝐺)})
2928eleq2d 2716 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) → (𝑥𝑋𝑥 ∈ {(0g𝐺)}))
3029biimpa 500 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ {(0g𝐺)})
3130, 12sylib 208 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 = (0g𝐺))
3226, 31eqtrd 2685 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) ∧ 𝑥𝑋) → (1(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
3332ralrimiva 2995 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) → ∀𝑥𝑋 (1(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
343, 4, 5, 6gexlem2 18043 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 (1(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺)) → 𝐸 ∈ (1...1))
3523, 25, 33, 34syl3anc 1366 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) → 𝐸 ∈ (1...1))
36 elfz1eq 12390 . . 3 (𝐸 ∈ (1...1) → 𝐸 = 1)
3735, 36syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ≈ 1𝑜) → 𝐸 = 1)
3822, 37impbida 895 1 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝑋 ≈ 1𝑜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598  cen 7994  1c1 9975  cn 11058  ...cfz 12364  Basecbs 15904  0gc0g 16147  Mndcmnd 17341  .gcmg 17587  gExcgex 17991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mulg 17588  df-gex 17995
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3a  18521  pgpfaclem3  18528
  Copyright terms: Public domain W3C validator