MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geolim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geolim3 24314
Description: Geometric series convergence with arbitrary shift, radix, and multiplicative constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim3.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
geolim3.b1 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
geolim3.b2 (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
geolim3.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
geolim3.f 𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))
Assertion
Ref Expression
geolim3 (𝜑 → seq𝐴( + , 𝐹) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geolim3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 geolim3.f . . 3 𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))
2 seqeq3 13013 . . 3 (𝐹 = (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) → seq𝐴( + , 𝐹) = seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))))
31, 2ax-mp 5 . 2 seq𝐴( + , 𝐹) = seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))))
4 nn0uz 11929 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
5 0zd 11596 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
6 geolim3.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
7 geolim3.b1 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
8 geolim3.b2 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
9 oveq2 6804 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑎 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑎))
10 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))
11 ovex 6827 . . . . . . . 8 (𝐵𝑎) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 6426 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎) = (𝐵𝑎))
1312adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎) = (𝐵𝑎))
147, 8, 13geolim 14808 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))) ⇝ (1 / (1 − 𝐵)))
15 expcl 13085 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑎) ∈ ℂ)
167, 15sylan 569 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑎) ∈ ℂ)
1713, 16eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎) ∈ ℂ)
18 geolim3.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
1918zcnd 11690 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
20 nn0cn 11509 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℂ)
21 fvex 6344 . . . . . . . . 9 (ℤ𝐴) ∈ V
2221mptex 6633 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) ∈ V
2322shftval4 14025 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)))
2419, 20, 23syl2an 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)))
25 uzid 11908 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
2618, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
27 uzaddcl 11951 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ𝐴))
2826, 27sylan 569 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ𝐴))
29 oveq1 6803 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝑘𝐴) = ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))
3029oveq2d 6812 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝐵↑(𝑘𝐴)) = (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)))
3130oveq2d 6812 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐴 + 𝑎) → (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
32 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) = (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))
33 ovex 6827 . . . . . . . 8 (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))) ∈ V
3431, 32, 33fvmpt 6426 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝑎) ∈ (ℤ𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
3528, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))‘(𝐴 + 𝑎)) = (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))))
36 pncan2 10494 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴) = 𝑎)
3719, 20, 36syl2an 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝑎) − 𝐴) = 𝑎)
3837oveq2d 6812 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)) = (𝐵𝑎))
3938, 13eqtr4d 2808 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴)) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎))
4039oveq2d 6812 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐵↑((𝐴 + 𝑎) − 𝐴))) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎)))
4124, 35, 403eqtrd 2809 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)‘𝑎) = (𝐶 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑘))‘𝑎)))
424, 5, 6, 14, 17, 41isermulc2 14596 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 · (1 / (1 − 𝐵))))
4319negidd 10588 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)
4443seqeq1d 13014 . . . 4 (𝜑 → seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)) = seq0( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)))
45 ax-1cn 10200 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
46 subcl 10486 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
4745, 7, 46sylancr 575 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
48 abs1 14245 . . . . . . . . 9 (abs‘1) = 1
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘1) = 1)
507abscld 14383 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
5150, 8gtned 10378 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≠ (abs‘𝐵))
5249, 51eqnetrd 3010 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘1) ≠ (abs‘𝐵))
53 fveq2 6333 . . . . . . . 8 (1 = 𝐵 → (abs‘1) = (abs‘𝐵))
5453necon3i 2975 . . . . . . 7 ((abs‘1) ≠ (abs‘𝐵) → 1 ≠ 𝐵)
5552, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≠ 𝐵)
56 subeq0 10513 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐵) = 0 ↔ 1 = 𝐵))
5745, 7, 56sylancr 575 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝐵) = 0 ↔ 1 = 𝐵))
5857necon3bid 2987 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐵))
5955, 58mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐵) ≠ 0)
606, 47, 59divrecd 11010 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 / (1 − 𝐵)) = (𝐶 · (1 / (1 − 𝐵))))
6142, 44, 603brtr4d 4819 . . 3 (𝜑 → seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
6218znegcld 11691 . . . 4 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
6322isershft 14602 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐴 ∈ ℤ) → (seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)) ↔ seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵))))
6418, 62, 63syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)) ↔ seq(𝐴 + -𝐴)( + , ((𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴)))) shift -𝐴)) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵))))
6561, 64mpbird 247 . 2 (𝜑 → seq𝐴( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝐴) ↦ (𝐶 · (𝐵↑(𝑘𝐴))))) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
663, 65syl5eqbr 4822 1 (𝜑 → seq𝐴( + , 𝐹) ⇝ (𝐶 / (1 − 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4787  cmpt 4864  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147   < clt 10280  cmin 10472  -cneg 10473   / cdiv 10890  0cn0 11499  cz 11584  cuz 11893  seqcseq 13008  cexp 13067   shift cshi 14014  abscabs 14182  cli 14423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625
This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  24319
  Copyright terms: Public domain W3C validator