Theorem genpn0 10038

Description: The result of an operation on positive reals is not empty. (Contributed by NM, 28-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
genpn0	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑣,𝐺,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤,𝑣)   𝐵(𝑤,𝑣)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpn0

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prn0 10024	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ≠ ∅)
2		n0 4075	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylib 208	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴)
4		prn0 10024	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐵 ≠ ∅)
5		n0 4075	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵)
6	4, 5	sylib 208	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → ∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵)
7	3, 6	anim12i 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵))
8		genp.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
9		genp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
10	8, 9	genpprecl 10036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
11		ne0i 4065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
12		0pss 4157	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵) ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
13	11, 12	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
14	10, 13	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵)))
15	14	expcomd 453	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑔 ∈ 𝐵 → (𝑓 ∈ 𝐴 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
16	15	exlimdv 2011	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵 → (𝑓 ∈ 𝐴 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
17	16	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ 𝐴 → (∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
18	17	exlimdv 2011	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴 → (∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
19	18	impd 446	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ 𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵)))
20	7, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2140  {cab 2747   ≠ wne 2933  ∃wrex 3052   ⊊ wpss 3717  ∅c0 4059  (class class class)co 6815   ↦ cmpt2 6817  Qcnq 9887  Pcnp 9894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-ni 9907  df-nq 9947  df-np 10016

This theorem is referenced by:  genpcl  10043