MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem genpcl 9993
Description: Closure of an operation on reals. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
genpcl.3 (Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (𝐺𝑓) <Q (𝐺𝑔)))
genpcl.4 (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
genpcl.5 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
Assertion
Ref Expression
genpcl ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ P)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝑤,𝑣   𝑥,𝐺   𝑦,𝑤,𝑣,𝐺,𝑧,𝑓,𝑔,   𝑓,𝐹,𝑔   𝑤,𝐴,𝑣   𝑤,𝐵,𝑣   𝑥,𝐹,𝑦,𝑤,𝑣,
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem genpcl
StepHypRef Expression
1 genp.1 . . . 4 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
2 genp.2 . . . 4 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
31, 2genpn0 9988 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
41, 2genpss 9989 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐹𝐵) ⊆ Q)
5 vex 3331 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
6 vex 3331 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
7 genpcl.3 . . . . . 6 (Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (𝐺𝑓) <Q (𝐺𝑔)))
85, 6, 7caovord 6998 . . . . 5 (𝑧Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
9 genpcl.4 . . . . 5 (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
101, 2, 8, 9genpnnp 9990 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q)
11 dfpss2 3822 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q ↔ ((𝐴𝐹𝐵) ⊆ Q ∧ ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
124, 10, 11sylanbrc 701 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q)
13 genpcl.5 . . . . . . 7 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
141, 2, 13genpcd 9991 . . . . . 6 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
1514alrimdv 1994 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
16 vex 3331 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
17 vex 3331 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
1816, 17, 7caovord 6998 . . . . . 6 (𝑣Q → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ (𝑣𝐺𝑧) <Q (𝑣𝐺𝑤)))
1916, 17, 9caovcom 6984 . . . . . 6 (𝑧𝐺𝑤) = (𝑤𝐺𝑧)
201, 2, 18, 19genpnmax 9992 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥))
2115, 20jcad 556 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥)))
2221ralrimiv 3091 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → ∀𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵)(∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥))
233, 12, 22jca31 558 . 2 ((𝐴P𝐵P) → ((∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵) ∧ (𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵)(∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥)))
24 elnp 9972 . 2 ((𝐴𝐹𝐵) ∈ P ↔ ((∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵) ∧ (𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵)(∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥)))
2523, 24sylibr 224 1 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1618   = wceq 1620  wcel 2127  {cab 2734  wral 3038  wrex 3039  wss 3703  wpss 3704  c0 4046   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801  cmpt2 6803  Qcnq 9837   <Q cltq 9843  Pcnp 9844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7899  df-ni 9857  df-mi 9859  df-lti 9860  df-ltpq 9895  df-enq 9896  df-nq 9897  df-ltnq 9903  df-np 9966
This theorem is referenced by:  addclpr  10003  mulclpr  10005
  Copyright terms: Public domain W3C validator