Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ge0xrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0xrre 40178
Description: A nonnegative extended real that is not +∞ is a real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
ge0xrre ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem ge0xrre
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 12394 . 2 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 0xr 10199 . . . 4 0 ∈ ℝ*
32a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10205 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
6 eliccxr 40157 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
76adantr 472 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
82a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ∈ ℝ*)
94a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
10 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
11 iccgelb 12344 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
128, 9, 10, 11syl3anc 1439 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)
1312adantr 472 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 0 ≤ 𝐴)
14 pnfge 12078 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
156, 14syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≤ +∞)
1615adantr 472 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
17 simpr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
187, 5, 16, 17xrleneltd 39954 . . 3 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 < +∞)
193, 5, 7, 13, 18elicod 12338 . 2 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
201, 19sseldi 3707 1 ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐴 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2103  wne 2896   class class class wbr 4760  (class class class)co 6765  cr 10048  0cc0 10049  +∞cpnf 10184  *cxr 10186  cle 10188  [,)cico 12291  [,]cicc 12292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-ico 12295  df-icc 12296
This theorem is referenced by:  ge0lere  40179  ovolsplit  40625  sge0tsms  41017  sge0cl  41018  sge0isum  41064  sge0xaddlem1  41070  voliunsge0lem  41109  sge0hsphoire  41226  hoidmvlelem1  41232  hoidmvlelem4  41235  hspmbl  41266
  Copyright terms: Public domain W3C validator