MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0p1rpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0p1rpd 12105
Description: A nonnegative number plus one is a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ge0p1rp.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ge0p1rpd (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem ge0p1rpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ge0p1rp.2 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3 ge0p1rp 12065 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 573 1 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  cle 10277  +crp 12035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-rp 12036
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  14464  o1rlimmul  14557  mertenslem1  14823  mertenslem2  14824  nlmvscnlem2  22709  nlmvscnlem1  22710  nghmcn  22769  cnheibor  22974  ipcnlem2  23262  ipcnlem1  23263  pjthlem1  23427  itg2const2  23728  itgulm  24382  abelthlem8  24413  loglesqrt  24720  logdiflbnd  24942  ftalem4  25023  logfacrlim  25170  dchrisumlem3  25401  pntrsumo1  25475  smcnlem  27892  pjhthlem1  28590  faclimlem1  31967  faclimlem3  31969  faclim  31970  iprodfac  31971  isbnd3  33915  totbndbnd  33920  rrntotbnd  33967  wallispilem4  40802  wallispi  40804  wallispi2lem1  40805  stirlinglem1  40808  stirlinglem4  40811  stirlinglem6  40813  stirlinglem10  40817  stirlinglem11  40818  stirlinglem12  40819  stirlinglem13  40820  fourierdlem30  40871  fourierdlem77  40917
  Copyright terms: Public domain W3C validator