MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0div Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0div 11113
Description: Division of a nonnegative number by a positive number. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
ge0div ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))

Proof of Theorem ge0div
StepHypRef Expression
1 0re 10263 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 lediv1 11111 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
31, 2mp3an1 1562 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
433impb 1134 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)))
5 gt0ne0 10716 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
6 recn 10249 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
7 div0 10938 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 / 𝐵) = 0)
86, 7sylan 570 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 / 𝐵) = 0)
95, 8syldan 580 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 / 𝐵) = 0)
109breq1d 4807 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → ((0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
11103adant1 1151 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → ((0 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
124, 11bitrd 269 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 383  w3a 1098   = wceq 1634  wcel 2148  wne 2946   class class class wbr 4797  (class class class)co 6812  cc 10157  cr 10158  0cc0 10159   < clt 10297  cle 10298   / cdiv 10907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-op 4333  df-uni 4586  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-id 5171  df-po 5184  df-so 5185  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-div 10908
This theorem is referenced by:  divge0  11115  halfnneg2  11487  nn0ge0div  11670  ge0divd  12130  odzdvds  15727  pcfaclem  15829  pockthlem  15836  dvge0  24010  nn0oALTV  42159  nn0e  42160  rege1logbrege0  42904  logbge0b  42909  dignnld  42949
  Copyright terms: Public domain W3C validator