MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchpwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchpwdom 9452
Description: A relationship between dominance over the powerset and strict dominance when the sets involved are infinite GCH-sets. Proposition 3.1 of [KanamoriPincus] p. 421. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchpwdom ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴𝐵))

Proof of Theorem gchpwdom
StepHypRef Expression
1 simpl2 1063 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ GCH)
2 pwexg 4820 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ GCH → 𝒫 𝐴 ∈ V)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4 simpl3 1064 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ GCH)
5 cdadom3 8970 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
63, 4, 5syl2anc 692 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
7 domen2 8063 . . . . 5 (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵)))
86, 7syl5ibrcom 237 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵))
9 cdacomen 8963 . . . . . . 7 (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵)
10 entr 7968 . . . . . . 7 (((𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
119, 10mpan 705 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
12 ensym 7965 . . . . . 6 ((𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
13 endom 7942 . . . . . 6 (𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
15 domsdomtr 8055 . . . . . . . . . . 11 ((ω ≼ 𝐴𝐴𝐵) → ω ≺ 𝐵)
16153ad2antl1 1221 . . . . . . . . . 10 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ω ≺ 𝐵)
17 sdomnsym 8045 . . . . . . . . . 10 (ω ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ ω)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ ω)
19 isfinite 8509 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ≺ ω)
2018, 19sylnibr 319 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
21 gchcdaidm 9450 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐵)
224, 20, 21syl2anc 692 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐵)
23 pwen 8093 . . . . . . 7 ((𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
24 domen1 8062 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴)))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴)))
26 pwcdadom 8998 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
27 canth2g 8074 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ GCH → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
28 sdomdomtr 8053 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
2928ex 450 . . . . . . . . 9 (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
304, 27, 293syl 18 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
31 gchi 9406 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴𝐵𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
32313expia 1264 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
33323ad2antl2 1222 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
34 isfinite 8509 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
35 simpl1 1062 . . . . . . . . . . 11 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ω ≼ 𝐴)
36 domnsym 8046 . . . . . . . . . . 11 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴 ≺ ω)
3837pm2.21d 118 . . . . . . . . 9 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ≺ ω → 𝒫 𝐴𝐵))
3934, 38syl5bi 232 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴𝐵))
4030, 33, 393syld 60 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴𝐵))
4126, 40syl5 34 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴𝐵))
4225, 41sylbird 250 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴𝐵))
4314, 42syl5 34 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
44 cdadom3 8970 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
454, 3, 44syl2anc 692 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
46 domentr 7975 . . . . . 6 ((𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
4745, 9, 46sylancl 693 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
48 sdomdom 7943 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
4948adantl 482 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
50 pwdom 8072 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
51 cdadom1 8968 . . . . . . . 8 (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵))
534, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
54 sdomdom 7943 . . . . . . . 8 (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
55 cdadom2 8969 . . . . . . . 8 (𝐵 ≼ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
57 domtr 7969 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵)) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
5852, 56, 57syl2anc 692 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
59 pwcda1 8976 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ GCH → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜))
604, 59syl 17 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜))
61 gchcda1 9438 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐵)
624, 20, 61syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐵)
63 pwen 8093 . . . . . . . 8 ((𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐵)
6462, 63syl 17 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐵)
65 entr 7968 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ∧ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
6660, 64, 65syl2anc 692 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
67 domentr 7975 . . . . . 6 (((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
6858, 66, 67syl2anc 692 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
69 gchor 9409 . . . . 5 (((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
704, 20, 47, 68, 69syl22anc 1324 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
718, 43, 70mpjaod 396 . . 3 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
7271ex 450 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
73 reldom 7921 . . . . 5 Rel ≼
7473brrelexi 5128 . . . 4 (𝒫 𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
75 pwexb 6937 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
76 canth2g 8074 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7775, 76sylbir 225 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7874, 77syl 17 . . 3 (𝒫 𝐴𝐵𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
79 sdomdomtr 8053 . . 3 ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
8078, 79mpancom 702 . 2 (𝒫 𝐴𝐵𝐴𝐵)
8172, 80impbid1 215 1 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036  wcel 1987  Vcvv 3190  𝒫 cpw 4136   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  ωcom 7027  1𝑜c1o 7513  cen 7912  cdom 7913  csdm 7914  Fincfn 7915   +𝑐 ccda 8949  GCHcgch 9402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-seqom 7503  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-oexp 7526  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-oi 8375  df-har 8423  df-wdom 8424  df-cnf 8519  df-card 8725  df-cda 8950  df-fin4 9069  df-gch 9403
This theorem is referenced by:  gchaleph2  9454  gchina  9481
  Copyright terms: Public domain W3C validator