MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchpwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchpwdom 9684
Description: A relationship between dominance over the powerset and strict dominance when the sets involved are infinite GCH-sets. Proposition 3.1 of [KanamoriPincus] p. 421. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchpwdom ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴𝐵))

Proof of Theorem gchpwdom
StepHypRef Expression
1 simpl2 1230 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ GCH)
2 pwexg 4999 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ GCH → 𝒫 𝐴 ∈ V)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4 simpl3 1232 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ GCH)
5 cdadom3 9202 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ GCH) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
63, 4, 5syl2anc 696 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
7 domen2 8268 . . . . 5 (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵)))
86, 7syl5ibrcom 237 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵))
9 cdacomen 9195 . . . . . . 7 (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵)
10 entr 8173 . . . . . . 7 (((𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
119, 10mpan 708 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵)
12 ensym 8170 . . . . . 6 ((𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
13 endom 8148 . . . . . 6 (𝒫 𝐵 ≈ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
15 domsdomtr 8260 . . . . . . . . . . 11 ((ω ≼ 𝐴𝐴𝐵) → ω ≺ 𝐵)
16153ad2antl1 1201 . . . . . . . . . 10 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ω ≺ 𝐵)
17 sdomnsym 8250 . . . . . . . . . 10 (ω ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ ω)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ ω)
19 isfinite 8722 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ≺ ω)
2018, 19sylnibr 318 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
21 gchcdaidm 9682 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐵)
224, 20, 21syl2anc 696 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐵)
23 pwen 8298 . . . . . . 7 ((𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
24 domen1 8267 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴)))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ↔ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴)))
26 pwcdadom 9230 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
27 canth2g 8279 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ GCH → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
28 sdomdomtr 8258 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐴)
2928ex 449 . . . . . . . . 9 (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
304, 27, 293syl 18 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≺ 𝒫 𝐴))
31 gchi 9638 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴𝐵𝐵 ≺ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
32313expia 1115 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
33323ad2antl2 1202 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ∈ Fin))
34 isfinite 8722 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
35 simpl1 1228 . . . . . . . . . . 11 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ω ≼ 𝐴)
36 domnsym 8251 . . . . . . . . . . 11 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ ω)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴 ≺ ω)
3837pm2.21d 118 . . . . . . . . 9 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ≺ ω → 𝒫 𝐴𝐵))
3934, 38syl5bi 232 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴𝐵))
4030, 33, 393syld 60 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴𝐵))
4126, 40syl5 34 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 (𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴𝐵))
4225, 41sylbird 250 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴𝐵))
4314, 42syl5 34 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
44 cdadom3 9202 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ GCH ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
454, 3, 44syl2anc 696 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴))
46 domentr 8180 . . . . . 6 ((𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
4745, 9, 46sylancl 697 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
48 sdomdom 8149 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
4948adantl 473 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
50 pwdom 8277 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
51 cdadom1 9200 . . . . . . . 8 (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵))
534, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ≺ 𝒫 𝐵)
54 sdomdom 8149 . . . . . . . 8 (𝐵 ≺ 𝒫 𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐵)
55 cdadom2 9201 . . . . . . . 8 (𝐵 ≼ 𝒫 𝐵 → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
57 domtr 8174 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵)) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
5852, 56, 57syl2anc 696 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵))
59 pwcda1 9208 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ GCH → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜))
604, 59syl 17 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜))
61 gchcda1 9670 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐵)
624, 20, 61syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐵)
63 pwen 8298 . . . . . . . 8 ((𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐵 → 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐵)
6462, 63syl 17 . . . . . . 7 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐵)
65 entr 8173 . . . . . . 7 (((𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ∧ 𝒫 (𝐵 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
6660, 64, 65syl2anc 696 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
67 domentr 8180 . . . . . 6 (((𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ∧ (𝒫 𝐵 +𝑐 𝒫 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
6858, 66, 67syl2anc 696 . . . . 5 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
69 gchor 9641 . . . . 5 (((𝐵 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐵 ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
704, 20, 47, 68, 69syl22anc 1478 . . . 4 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵))
718, 43, 70mpjaod 395 . . 3 (((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) ∧ 𝐴𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
7271ex 449 . 2 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
73 reldom 8127 . . . . 5 Rel ≼
7473brrelexi 5315 . . . 4 (𝒫 𝐴𝐵 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
75 pwexb 7140 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
76 canth2g 8279 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7775, 76sylbir 225 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7874, 77syl 17 . . 3 (𝒫 𝐴𝐵𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
79 sdomdomtr 8258 . . 3 ((𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
8078, 79mpancom 706 . 2 (𝒫 𝐴𝐵𝐴𝐵)
8172, 80impbid1 215 1 ((ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ GCH) → (𝐴𝐵 ↔ 𝒫 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072  wcel 2139  Vcvv 3340  𝒫 cpw 4302   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  ωcom 7230  1𝑜c1o 7722  cen 8118  cdom 8119  csdm 8120  Fincfn 8121   +𝑐 ccda 9181  GCHcgch 9634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-seqom 7712  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-oexp 7735  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-har 8628  df-wdom 8629  df-cnf 8732  df-card 8955  df-cda 9182  df-fin4 9301  df-gch 9635
This theorem is referenced by:  gchaleph2  9686  gchina  9713
  Copyright terms: Public domain W3C validator