Theorem gchinf 9681

Description: An infinite GCH-set is Dedekind-infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchinf	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)

Proof of Theorem gchinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gchcda1 9680	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐴)
2	1	ensymd 8160	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
3		isfin4-2 9338	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
4	3	adantr 466	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
5		isfin4-3 9339	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
6		sdomnen 8138	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1𝑜) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
7	5, 6	sylbi 207	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
8	4, 7	syl6bir 244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜)))
9	2, 8	mt4d 153	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ω ≼ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  ωcom 7212  1_𝑜c1o 7706   ≈ cen 8106   ≼ cdom 8107   ≺ csdm 8108  Fincfn 8109   +_𝑐 ccda 9191  Fin^IVcfin4 9304  GCHcgch 9644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-fin4 9311  df-gch 9645

This theorem is referenced by:  gchcdaidm  9692  gchxpidm  9693  gchina  9723