MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchdomtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchdomtri 9489
Description: Under certain conditions, a GCH-set can demonstrate trichotomy of dominance. Lemma for gchac 9541. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchdomtri ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))

Proof of Theorem gchdomtri
StepHypRef Expression
1 sdomdom 8025 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
21con3i 150 . . . 4 𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
3 reldom 8003 . . . . . . 7 Rel ≼
43brrelexi 5192 . . . . . 6 (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ∈ V)
543ad2ant3 1104 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6 fidomtri2 8858 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
75, 6sylan 487 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
82, 7syl5ibr 236 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
98orrd 392 . 2 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
10 simp1 1081 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
1110adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
12 simpr 476 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
13 cdadom3 9048 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
1410, 5, 13syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
1514adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
16 cdalepw 9056 . . . . . 6 (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
17163adant1 1099 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
1817adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
19 gchor 9487 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
2011, 12, 15, 18, 19syl22anc 1367 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
21 cdadom3 9048 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝐴))
225, 10, 21syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝐴))
23 cdacomen 9041 . . . . . . . 8 (𝐵 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵)
24 domentr 8056 . . . . . . . 8 ((𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐵 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
2522, 23, 24sylancl 695 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
26 domen2 8144 . . . . . . 7 (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐵𝐴𝐵 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)))
2725, 26syl5ibrcom 237 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝐵𝐴))
2827imp 444 . . . . 5 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → 𝐵𝐴)
2928olcd 407 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
30 simpl1 1084 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
31 canth2g 8155 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
32 sdomdom 8025 . . . . . . 7 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
34 simpl2 1085 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)
35 pwen 8174 . . . . . . . . 9 ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
37 enen2 8142 . . . . . . . . 9 ((𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
3837adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
3936, 38mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵))
40 endom 8024 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
41 pwcdadom 9076 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
4239, 40, 413syl 18 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴𝐵)
43 domtr 8050 . . . . . 6 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
4433, 42, 43syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴𝐵)
4544orcd 406 . . . 4 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
4629, 45jaodan 843 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴)) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
4720, 46syldan 486 . 2 (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
489, 47pm2.61dan 849 1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054  wcel 2030  Vcvv 3231  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cen 7994  cdom 7995  csdm 7996  Fincfn 7997   +𝑐 ccda 9027  GCHcgch 9480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-wdom 8505  df-card 8803  df-cda 9028  df-gch 9481
This theorem is referenced by:  gchaclem  9538
  Copyright terms: Public domain W3C validator