Theorem gcdid 15455

Description: The gcd of a number and itself is its absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcdid	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))

Proof of Theorem gcdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 11608	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		0z 11589	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		gcdaddm 15453	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 0) = (𝑁 gcd (0 + (1 · 𝑁))))
4	1, 2, 3	mp3an13 1562	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 0) = (𝑁 gcd (0 + (1 · 𝑁))))
5		gcdid0 15448	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 0) = (abs‘𝑁))
6		zcn 11583	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		mulid2 10239	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
8	7	oveq2d 6808	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (0 + (1 · 𝑁)) = (0 + 𝑁))
9		addid2 10420	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (0 + 𝑁) = 𝑁)
10	8, 9	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (0 + (1 · 𝑁)) = 𝑁)
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 + (1 · 𝑁)) = 𝑁)
12	11	oveq2d 6808	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd (0 + (1 · 𝑁))) = (𝑁 gcd 𝑁))
13	4, 5, 12	3eqtr3rd 2813	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ℂcc 10135  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142  ℤcz 11578  abscabs 14181   gcd cgcd 15423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-gcd 15424

This theorem is referenced by:  6gcd4e2  15462  gcdmultiple  15476  lcmid  15529  lcmgcdeq  15532  3lcm2e6woprm  15535  phibndlem  15681  coprimeprodsq  15719  ex-gcd  27650  gcdabsorb  31970