MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdcom 15443
Description: The gcd operator is commutative. Theorem 1.4(a) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdcom ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcom
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 448 . . 3 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0))
2 ancom 448 . . . . 5 ((𝑛𝑀𝑛𝑁) ↔ (𝑛𝑁𝑛𝑀))
32rabbii 3335 . . . 4 {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑁𝑛𝑀)}
43supeq1i 8513 . . 3 sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑁𝑛𝑀)}, ℝ, < )
51, 4ifbieq2i 4250 . 2 if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑁𝑛𝑀)}, ℝ, < ))
6 gcdval 15426 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )))
7 gcdval 15426 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑁𝑛𝑀)}, ℝ, < )))
87ancoms 446 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑁𝑛𝑀)}, ℝ, < )))
95, 6, 83eqtr4a 2831 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  ifcif 4226   class class class wbr 4787  (class class class)co 6796  supcsup 8506  cr 10141  0cc0 10142   < clt 10280  cz 11584  cdvds 15189   gcd cgcd 15424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-mulcl 10204  ax-i2m1 10210  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-ltxr 10285  df-gcd 15425
This theorem is referenced by:  divgcdnnr  15445  gcdid0  15449  neggcd  15452  gcdabs2  15460  modgcd  15461  1gcd  15462  6gcd4e2  15463  rplpwr  15484  rppwr  15485  eucalginv  15505  3lcm2e6woprm  15536  coprmdvds  15574  qredeq  15578  coprmprod  15582  divgcdcoprmex  15587  cncongr1  15588  rpexp12i  15641  cncongrprm  15644  phiprmpw  15688  eulerthlem1  15693  eulerthlem2  15694  fermltl  15696  prmdiv  15697  vfermltl  15713  coprimeprodsq  15720  coprimeprodsq2  15721  pythagtriplem3  15730  pythagtrip  15746  pcgcd  15789  prmpwdvds  15815  pockthlem  15816  prmgaplem7  15968  gcdi  15984  gcdmodi  15985  1259lem5  16049  2503lem3  16053  4001lem4  16058  odinv  18185  gexexlem  18462  ablfacrp2  18674  pgpfac1lem2  18682  dvdsmulf1o  25141  perfect1  25174  perfectlem1  25175  lgslem1  25243  lgsprme0  25285  lgsdirnn0  25290  lgsqrlem2  25293  lgsqr  25297  gausslemma2dlem0c  25304  lgsquad2lem2  25331  lgsquad2  25332  lgsquad3  25333  2sqlem8  25372  ex-gcd  27656  2sqmod  29988  gcd32  31975  nn0prpwlem  32654  jm2.19lem2  38083  jm2.20nn  38090  goldbachthlem2  41983  goldbachth  41984  perfectALTVlem1  42155
  Copyright terms: Public domain W3C validator