MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdcllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdcllem1 15268
Description: Lemma for gcdn0cl 15271, gcddvds 15272 and dvdslegcd 15273. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
gcdcllem1.1 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛𝐴 𝑧𝑛}
Assertion
Ref Expression
gcdcllem1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem gcdcllem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 11445 . . . . 5 1 ∈ ℤ
2 ssel 3630 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛𝐴𝑛 ∈ ℤ))
3 1dvds 15043 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑛)
42, 3syl6 35 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛𝐴 → 1 ∥ 𝑛))
54ralrimiv 2994 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑛𝐴 1 ∥ 𝑛)
6 breq1 4688 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (𝑧𝑛 ↔ 1 ∥ 𝑛))
76ralbidv 3015 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → (∀𝑛𝐴 𝑧𝑛 ↔ ∀𝑛𝐴 1 ∥ 𝑛))
8 gcdcllem1.1 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛𝐴 𝑧𝑛}
97, 8elrab2 3399 . . . . . 6 (1 ∈ 𝑆 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛𝐴 1 ∥ 𝑛))
109biimpri 218 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛𝐴 1 ∥ 𝑛) → 1 ∈ 𝑆)
111, 5, 10sylancr 696 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℤ → 1 ∈ 𝑆)
12 ne0i 3954 . . . 4 (1 ∈ 𝑆𝑆 ≠ ∅)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝑆 ≠ ∅)
1413adantr 480 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0) → 𝑆 ≠ ∅)
15 neeq1 2885 . . . 4 (𝑛 = 𝑤 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑤 ≠ 0))
1615cbvrexv 3202 . . 3 (∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0 ↔ ∃𝑤𝐴 𝑤 ≠ 0)
17 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑛𝑦𝑛))
1817ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑛𝐴 𝑧𝑛 ↔ ∀𝑛𝐴 𝑦𝑛))
1918, 8elrab2 3399 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛𝐴 𝑦𝑛))
2019simprbi 479 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑆 → ∀𝑛𝐴 𝑦𝑛)
2120adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑛𝐴 𝑦𝑛)
2219simplbi 475 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℤ)
23 ssel2 3631 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
24 dvdsleabs 15080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑦𝑛𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
25243expia 1286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦𝑛𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2623, 25sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴)) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦𝑛𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2726anassrs 681 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦𝑛𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2827com23 86 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2928ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) → ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
3029ancoms 468 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
3122, 30sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
32 r19.26 3093 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 ∧ (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) ↔ (∀𝑛𝐴 𝑦𝑛 ∧ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))))
33 pm3.35 610 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑛 ∧ (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
3433ralimi 2981 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 ∧ (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → ∀𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
3532, 34sylbir 225 . . . . . . . . 9 ((∀𝑛𝐴 𝑦𝑛 ∧ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → ∀𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
3621, 31, 35syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
3736ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑦𝑆𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
38 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑤 → (abs‘𝑛) = (abs‘𝑤))
3938breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑤 → (𝑦 ≤ (abs‘𝑛) ↔ 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4015, 39imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑤 → ((𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤))))
4140cbvralv 3201 . . . . . . . . 9 (∀𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4241ralbii 3009 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑆𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑦𝑆𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
43 ralcom 3127 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑆𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑦𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
44 r19.21v 2989 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4544ralbii 3009 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐴𝑦𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4642, 43, 453bitri 286 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑆𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4737, 46sylib 208 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
48 ssel2 3631 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
49 nn0abscl 14096 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℤ → (abs‘𝑤) ∈ ℕ0)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → (abs‘𝑤) ∈ ℕ0)
5150nn0zd 11518 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → (abs‘𝑤) ∈ ℤ)
52 breq2 4689 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (abs‘𝑤) → (𝑦𝑥𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
5352ralbidv 3015 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (abs‘𝑤) → (∀𝑦𝑆 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
5453adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑥 = (abs‘𝑤)) → (∀𝑦𝑆 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
5551, 54rspcedv 3344 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → (∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
5655imim2d 57 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) → (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)))
5756ralimdva 2991 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → (∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) → ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)))
5847, 57mpd 15 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
59 r19.23v 3052 . . . . 5 (∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥) ↔ (∃𝑤𝐴 𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
6058, 59sylib 208 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑤𝐴 𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
6160imp 444 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑤𝐴 𝑤 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
6216, 61sylan2b 491 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
6314, 62jca 553 1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cfv 5926  0cc0 9974  1c1 9975  cle 10113  0cn0 11330  cz 11415  abscabs 14018  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028
This theorem is referenced by:  gcdcllem3  15270
  Copyright terms: Public domain W3C validator