Theorem gcd1 15456

Description: The gcd of a number with 1 is 1. Theorem 1.4(d)1 in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcd1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) = 1)

Proof of Theorem gcd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 11608	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		gcddvds 15432	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 1) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 1) ∥ 1))
3	1, 2	mpan2 663	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 1) ∥ 1))
4	3	simprd 477	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∥ 1)
5		ax-1ne0 10206	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
6		simpr 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 1 = 0) → 1 = 0)
7	6	necon3ai 2967	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ≠ 0 → ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0))
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0)
9		gcdn0cl 15431	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0)) → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
10	8, 9	mpan2 663	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
11	1, 10	mpan2 663	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 11682	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∈ ℤ)
13		1nn 11232	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
14		dvdsle 15240	. . . 4 ⊢ (((𝑀 gcd 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 1) ∥ 1 → (𝑀 gcd 1) ≤ 1))
15	12, 13, 14	sylancl 566	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ∥ 1 → (𝑀 gcd 1) ≤ 1))
16	4, 15	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ≤ 1)
17		nnle1eq1 11249	. . 3 ⊢ ((𝑀 gcd 1) ∈ ℕ → ((𝑀 gcd 1) ≤ 1 ↔ (𝑀 gcd 1) = 1))
18	11, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ≤ 1 ↔ (𝑀 gcd 1) = 1))
19	16, 18	mpbid 222	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138   ≤ cle 10276  ℕcn 11221  ℤcz 11578   ∥ cdvds 15188   gcd cgcd 15423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-gcd 15424

This theorem is referenced by:  1gcd  15461  lcm1  15530  dfphi2  15685  pockthlem  15815  fvprmselgcd1  15955  odinv  18184  pgpfac1lem2  18681  lgs1  25286  lgsquad2lem2  25330  2sqlem11  25374  qqh1  30363