Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gbowge7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gbowge7 42176
Description: Any weak odd Goldbach number is greater than or equal to 7. Because of 7gbow 42185, this bound is strict. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gbowge7 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 7 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gbowge7
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gbowgt5 42175 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 5 < 𝑍)
2 gbowpos 42172 . . . 4 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℕ)
3 5nn 11395 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
43nnzi 11608 . . . . . 6 5 ∈ ℤ
5 nnz 11606 . . . . . 6 (𝑍 ∈ ℕ → 𝑍 ∈ ℤ)
6 zltp1le 11634 . . . . . 6 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
74, 5, 6sylancr 575 . . . . 5 (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
87biimpd 219 . . . 4 (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
92, 8syl 17 . . 3 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
10 5p1e6 11362 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
1110breq1i 4794 . . . . 5 ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 6 ≤ 𝑍)
12 6re 11307 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
132nnred 11241 . . . . . 6 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℝ)
14 leloe 10330 . . . . . 6 ((6 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
1512, 13, 14sylancr 575 . . . . 5 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
1611, 15syl5bb 272 . . . 4 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
17 6nn 11396 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
1817nnzi 11608 . . . . . . 7 6 ∈ ℤ
192nnzd 11688 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 𝑍 ∈ ℤ)
20 zltp1le 11634 . . . . . . . 8 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑍))
2120biimpd 219 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
2218, 19, 21sylancr 575 . . . . . 6 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
23 6p1e7 11363 . . . . . . 7 (6 + 1) = 7
2423breq1i 4794 . . . . . 6 ((6 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 7 ≤ 𝑍)
2522, 24syl6ib 241 . . . . 5 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
26 isgbow 42165 . . . . . 6 (𝑍 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
27 eleq1 2838 . . . . . . . . 9 (6 = 𝑍 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑍 ∈ Odd ))
28 6even 42145 . . . . . . . . . 10 6 ∈ Even
29 evennodd 42081 . . . . . . . . . 10 (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
30 pm2.21 121 . . . . . . . . . 10 (¬ 6 ∈ Odd → (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
3128, 29, 30mp2b 10 . . . . . . . . 9 (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍)
3227, 31syl6bir 244 . . . . . . . 8 (6 = 𝑍 → (𝑍 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
3332com12 32 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Odd → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
3433adantr 466 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
3526, 34sylbi 207 . . . . 5 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
3625, 35jaod 848 . . . 4 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍) → 7 ≤ 𝑍))
3716, 36sylbid 230 . . 3 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → ((5 + 1) ≤ 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
389, 37syld 47 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → (5 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
391, 38mpd 15 1 (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 7 ≤ 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062   class class class wbr 4787  (class class class)co 6796  cr 10141  1c1 10143   + caddc 10145   < clt 10280  cle 10281  cn 11226  5c5 11279  6c6 11280  7c7 11281  cz 11584  cprime 15592   Even ceven 42062   Odd codd 42063   GoldbachOddW cgbow 42159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593  df-even 42064  df-odd 42065  df-gbow 42162
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator