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Theorem gboge9 41977
Description: Any odd Goldbach number is greater than or equal to 9. Because of 9gbo 41987, this bound is strict. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gboge9 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 9 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gboge9
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgbo 41966 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
2 df-3an 1056 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
3 an6 1448 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd )))
4 oddprmuzge3 41950 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) → 𝑝 ∈ (ℤ‘3))
5 oddprmuzge3 41950 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → 𝑞 ∈ (ℤ‘3))
6 oddprmuzge3 41950 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd ) → 𝑟 ∈ (ℤ‘3))
7 6p3e9 11208 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 3) = 9
8 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) → 𝑝 ∈ ℤ)
9 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 𝑞 ∈ ℤ)
10 zaddcl 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
118, 9, 10syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
1211zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
13 eluzelre 11736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ (ℤ‘3) → 𝑟 ∈ ℝ)
1412, 13anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
15143impa 1278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
16 6re 11139 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ ℝ
17 3re 11132 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℝ
1816, 17pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
1915, 18jctil 559 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → ((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)))
20 3p3e6 11199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 + 3) = 6
21 eluzelre 11736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) → 𝑝 ∈ ℝ)
22 eluzelre 11736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 𝑞 ∈ ℝ)
2321, 22anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
2417, 17pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
2523, 24jctil 559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → ((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)))
26 eluzle 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑝)
27 eluzle 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑞)
2826, 27anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞))
29 le2add 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
3025, 28, 29sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞))
3120, 30syl5eqbrr 4721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
32313adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
33 eluzle 11738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑟)
34333ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → 3 ≤ 𝑟)
3532, 34jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → (6 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 3 ≤ 𝑟))
36 le2add 10548 . . . . . . . . . . . . 13 (((6 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)) → ((6 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 3 ≤ 𝑟) → (6 + 3) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
3719, 35, 36sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → (6 + 3) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
387, 37syl5eqbrr 4721 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ (ℤ‘3)) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
394, 5, 6, 38syl3an 1408 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
403, 39sylbi 207 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
412, 40sylanbr 489 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
42 breq2 4689 . . . . . . . 8 (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (9 ≤ 𝑍 ↔ 9 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
4341, 42syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd )) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 9 ≤ 𝑍))
4443expimpd 628 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
4544rexlimdva 3060 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
4645a1i 11 . . . 4 (𝑍 ∈ Odd → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍)))
4746rexlimdvv 3066 . . 3 (𝑍 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 9 ≤ 𝑍))
4847imp 444 . 2 ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))) → 9 ≤ 𝑍)
491, 48sylbi 207 1 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 9 ≤ 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973   + caddc 9977  cle 10113  3c3 11109  6c6 11112  9c9 11115  cz 11415  cuz 11725  cprime 15432   Odd codd 41863   GoldbachOdd cgbo 41960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-prm 15433  df-even 41864  df-odd 41865  df-gbo 41963
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