Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gbegt5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gbegt5 42174
Description: Any even Goldbach number is greater than 5. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gbegt5 (𝑍 ∈ GoldbachEven → 5 < 𝑍)

Proof of Theorem gbegt5
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgbe 42164 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))))
2 oddprmuzge3 42150 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ Odd ) → 𝑝 ∈ (ℤ‘3))
32ancoms 446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ (ℤ‘3))
4 oddprmuzge3 42150 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → 𝑞 ∈ (ℤ‘3))
54ancoms 446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ (ℤ‘3))
6 eluz2 11899 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝))
7 eluz2 11899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞))
8 zre 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑞 ∈ ℤ → 𝑞 ∈ ℝ)
9 zre 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
10 3re 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 ∈ ℝ
1110, 10pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
12 pm3.22 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
13 le2add 10716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((3 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
1411, 12, 13sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 ≤ 𝑝 ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
1514ancomsd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → (3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
16 3p3e6 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (3 + 3) = 6
1716breq1i 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞) ↔ 6 ≤ (𝑝 + 𝑞))
18 5lt6 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5 < 6
19 5re 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 5 ∈ ℝ)
21 6re 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 6 ∈ ℝ)
23 readdcl 10225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
2423ancoms 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
25 ltletr 10335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
2620, 22, 24, 25syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
2718, 26mpani 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (6 ≤ (𝑝 + 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
2817, 27syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 + 3) ≤ (𝑝 + 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
2915, 28syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
308, 9, 29syl2an 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
3130ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ ℤ → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
3231adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 ∈ ℤ → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
3332com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((3 ≤ 𝑞 ∧ 3 ≤ 𝑝) → (𝑝 ∈ ℤ → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
3433exp4b 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 ∈ ℤ → (𝑞 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑞 → (3 ≤ 𝑝 → (𝑝 ∈ ℤ → 5 < (𝑝 + 𝑞))))))
35343imp 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → (3 ≤ 𝑝 → (𝑝 ∈ ℤ → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
3635com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑝 → ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞))))
3736imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝) → ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
38373adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝) → ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑞) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
397, 38syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑝) → (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
406, 39sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ (ℤ‘3) → (𝑞 ∈ (ℤ‘3) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
4140imp 393 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘3)) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
423, 5, 41syl2an 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
4342an4s 639 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
4443ex 397 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
45443adant3 1126 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 5 < (𝑝 + 𝑞)))
4645impcom 394 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 5 < (𝑝 + 𝑞))
47 breq2 4791 . . . . . . . . 9 (𝑍 = (𝑝 + 𝑞) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < (𝑝 + 𝑞)))
48473ad2ant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < (𝑝 + 𝑞)))
4948adantl 467 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < (𝑝 + 𝑞)))
5046, 49mpbird 247 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 5 < 𝑍)
5150ex 397 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 5 < 𝑍))
5251a1i 11 . . . 4 (𝑍 ∈ Even → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 5 < 𝑍)))
5352rexlimdvv 3185 . . 3 (𝑍 ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞)) → 5 < 𝑍))
5453imp 393 . 2 ((𝑍 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑍 = (𝑝 + 𝑞))) → 5 < 𝑍)
551, 54sylbi 207 1 (𝑍 ∈ GoldbachEven → 5 < 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  cr 10141   + caddc 10145   < clt 10280  cle 10281  3c3 11277  5c5 11279  6c6 11280  cz 11584  cuz 11893  cprime 15592   Even ceven 42062   Odd codd 42063   GoldbachEven cgbe 42158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593  df-even 42064  df-odd 42065  df-gbe 42161
This theorem is referenced by:  gbege6  42178
  Copyright terms: Public domain W3C validator