MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem5a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem5a 25315
Description: Lemma for gausslemma2dlem5 25316. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem5a (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5a
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . . 4 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . . 4 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 gausslemma2d.m . . . 4 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
51, 2, 3, 4gausslemma2dlem3 25313 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
6 prodeq2 14863 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)))
76oveq1d 6829 . . 3 (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
85, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
9 eldifi 3875 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
10 fzfid 12986 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
11 prmz 15611 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1211adantr 472 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
13 elfzelz 12555 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
14 2z 11621 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
1613, 15zmulcld 11700 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
1716adantl 473 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
1812, 17zsubcld 11699 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
19 neg1z 11625 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → -1 ∈ ℤ)
2120, 16zmulcld 11700 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (-1 · (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
2221adantl 473 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (-1 · (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
23 prmnn 15610 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2416zcnd 11695 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
2524mulm1d 10694 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (-1 · (𝑘 · 2)) = -(𝑘 · 2))
2625adantl 473 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (-1 · (𝑘 · 2)) = -(𝑘 · 2))
2726oveq1d 6829 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (-(𝑘 · 2) mod 𝑃))
2816zred 11694 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
2923nnrpd 12083 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
30 negmod 12929 . . . . . 6 (((𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (-(𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
3128, 29, 30syl2anr 496 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (-(𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
3227, 31eqtr2d 2795 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = ((-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
3310, 18, 22, 23, 32fprodmodd 14947 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
341, 9, 333syl 18 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
358, 34eqtrd 2794 1 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  cdif 3712  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cmin 10478  -cneg 10479   / cdiv 10896  2c2 11282  4c4 11284  cz 11589  +crp 12045  ...cfz 12539  cfl 12805   mod cmo 12882  cprod 14854  cprime 15607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-prod 14855  df-dvds 15203  df-prm 15608
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5  25316
  Copyright terms: Public domain W3C validator