MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem5 25317
Description: Lemma 5 for gausslemma2d 25320. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n 𝑁 = (𝐻𝑀)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem5 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 gausslemma2d.m . . 3 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
51, 2, 3, 4gausslemma2dlem5a 25316 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
6 fzfi 12986 . . . . . 6 ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
8 neg1cn 11337 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
98a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → -1 ∈ ℂ)
10 elfzelz 12556 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
11 2z 11622 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
1310, 12zmulcld 11701 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
1413zcnd 11696 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
1514adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
167, 9, 15fprodmul 14910 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
176, 8pm3.2i 470 . . . . . . 7 (((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin ∧ -1 ∈ ℂ)
18 fprodconst 14928 . . . . . . 7 ((((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin ∧ -1 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 = (-1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))))
1917, 18mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 = (-1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))))
20 nnoddn2prm 15739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
21 nnre 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
2221adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ)
231, 20, 223syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
24 4re 11310 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
26 4ne0 11330 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ≠ 0
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 4 ≠ 0)
2823, 25, 27redivcld 11066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
2928flcld 12814 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
304, 29syl5eqel 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3130peano2zd 11698 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
32 nnz 11612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
33 oddm1d2 15307 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
3534biimpa 502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
361, 20, 353syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
372, 36syl5eqel 2844 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
381, 4, 2gausslemma2dlem0f 25307 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝐻)
39 eluz2 11906 . . . . . . . . . 10 (𝐻 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐻))
4031, 37, 38, 39syl3anbrc 1429 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
41 hashfz 13427 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1))
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1))
4337zcnd 11696 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
4430zcnd 11696 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
45 1cnd 10269 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4643, 44, 45nppcan2d 10631 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1) = (𝐻𝑀))
47 gausslemma2d.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝐻𝑀)
4846, 47syl6eqr 2813 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1) = 𝑁)
4942, 48eqtrd 2795 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = 𝑁)
5049oveq2d 6831 . . . . . 6 (𝜑 → (-1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))) = (-1↑𝑁))
5119, 50eqtrd 2795 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 = (-1↑𝑁))
5251oveq1d 6830 . . . 4 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
5316, 52eqtrd 2795 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) = ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
5453oveq1d 6830 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
555, 54eqtrd 2795 1 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  cdif 3713  ifcif 4231  {csn 4322   class class class wbr 4805  cmpt 4882  cfv 6050  (class class class)co 6815  Fincfn 8124  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154   < clt 10287  cle 10288  cmin 10479  -cneg 10480   / cdiv 10897  cn 11233  2c2 11283  4c4 11285  cz 11590  cuz 11900  ...cfz 12540  cfl 12806   mod cmo 12883  cexp 13075  chash 13332  cprod 14855  cdvds 15203  cprime 15608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-prod 14856  df-dvds 15204  df-prm 15609
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  25318
  Copyright terms: Public domain W3C validator