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Theorem gausslemma2dlem3 25027
Description: Lemma 3 for gausslemma2d 25033. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀   𝑥,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑥)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gausslemma2dlem3
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.r . . . 4 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
21a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2)))))
3 oveq1 6622 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
43breq1d 4633 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
53oveq2d 6631 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
64, 3, 5ifbieq12d 4091 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
76adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
8 gausslemma2d.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
98gausslemma2dlem0a 25015 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
10 elfz2 12291 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘𝑘𝐻)))
11 gausslemma2d.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
1211oveq1i 6625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 + 1) = ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)
1312breq1i 4630 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘)
14 nnre 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
15 4re 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ)
17 4ne0 11077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
1914, 16, 18redivcld 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
21 fllelt 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 / 4) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)))
2319flcld 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
2423zred 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℝ)
25 peano2re 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ ℕ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
28 zre 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
30 ltleletr 10090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
3120, 27, 29, 30syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
3231expd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)))
3332adantld 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)))
3422, 33mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
3534imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)
3614rehalfcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
38 2re 11050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
4028, 39remulcld 10030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
42 2pos 11072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 2
4338, 42pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
45 lediv1 10848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2)))
4637, 41, 44, 45syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2)))
47 nncn 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
48 2cnne0 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
50 divdiv1 10696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / (2 · 2)))
5147, 49, 49, 50syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / (2 · 2)))
52 2t2e4 11137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 · 2) = 4
5352oveq2i 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 / (2 · 2)) = (𝑃 / 4)
5451, 53syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / 4))
55 zcn 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
56 2cnd 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
57 2ne0 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ≠ 0
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
5955, 56, 58divcan4d 10767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) / 2) = 𝑘)
6054, 59breqan12rd 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
6146, 60bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
6335, 62mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))
6463exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑃 ∈ ℕ → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
6564com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
6613, 65syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
67663ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
6867com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
6968adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 + 1) ≤ 𝑘𝑘𝐻) → (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
7069impcom 446 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘𝑘𝐻)) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2)))
7110, 70sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2)))
7271impcom 446 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))
73 elfzelz 12300 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
7473zred 11442 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℝ)
7538a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℝ)
7674, 75remulcld 10030 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
77 lenlt 10076 . . . . . . . . 9 (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
7836, 76, 77syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
7972, 78mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
809, 79sylan 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
8180adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
8281iffalsed 4075 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
837, 82eqtrd 2655 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
848, 11gausslemma2dlem0d 25018 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
85 nn0p1nn 11292 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
86 nnuz 11683 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
8785, 86syl6eleq 2708 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
8884, 87syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
89 fzss1 12338 . . . . 5 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1) → ((𝑀 + 1)...𝐻) ⊆ (1...𝐻))
9088, 89syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ⊆ (1...𝐻))
9190sselda 3588 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
92 ovexd 6645 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ V)
932, 83, 91, 92fvmptd 6255 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
9493ralrimiva 2962 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  Vcvv 3190  cdif 3557  wss 3560  ifcif 4064  {csn 4155   class class class wbr 4623  cmpt 4683  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226   / cdiv 10644  cn 10980  2c2 11030  4c4 11032  0cn0 11252  cz 11337  cuz 11647  ...cfz 12284  cfl 12547  cprime 15328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-dvds 14927  df-prm 15329
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  25029  gausslemma2dlem6  25031
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